K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
4 tháng 8 2021

Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow\) G cố định

Do tam giác ABC đều \(\Rightarrow\widehat{GAB}=\widehat{GAC}=\dfrac{1}{2}.60^0=30^0\)

Đồng thời \(\widehat{AGC}=\dfrac{1}{3}.360^0=120^0\)

Xét 2 tam giác GAP và GCQ có: \(\left\{{}\begin{matrix}AP=CQ\\\widehat{GAB}=\widehat{GAC}\\AG=CG\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta GAP=\Delta GCQ\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}GP=GQ\\\widehat{PGA}=\widehat{QGC}\Rightarrow\widehat{PGQ}=\widehat{AGC}=120^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Q là ảnh của P qua phép quay tâm G góc 120 độ, C là ảnh của A qua phép quay tâm G góc 120 độ

\(\Rightarrow Q_{\left(G;120^0\right)}\left(\overrightarrow{AP}\right)=\overrightarrow{CQ}\)

b. Theo cmt, do \(\Delta GAP=\Delta GCQ\Rightarrow\widehat{GPA}=\widehat{GQC}\)

Mà \(\widehat{GQC}+\widehat{GQA}=180^0\Rightarrow\widehat{GPA}+\widehat{GQA}=180^0\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác APGQ nội tiếp hay đường tròn (APQ) luôn đi qua G cố định

NV
4 tháng 8 2021

undefined

31 tháng 8 2021

cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0

⇔ 2cos2x - (2m + 1).cosx = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}cosx=0\left(1\right)\\2cosx=2m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) ⇔ \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) với k thuộc Z. Mà \(x\in\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)

⇒ x = \(\dfrac{3\pi}{2}\)

Như vậy đã có 1 nghiệm trên \(\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\) đó là x = \(\dfrac{3\pi}{2}\). Bây giờ cần tìm m để (2) có 2 nghiệm phân biệt trên \(\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\) và trong 2 nghiệm đó không có nghiệm x = \(\dfrac{3\pi}{2}\). Tức là x = \(\dfrac{3\pi}{2}\) không thỏa mãn (2), tức là

2m + 1 ≠ 0 ⇔ \(m\ne-\dfrac{1}{2}\)

(2) ⇔ \(2.\left(2cos^2\dfrac{x}{2}-1\right)=2m+1\)

⇔ \(4cos^2\dfrac{x}{2}=2m+3\)

Do x \(\in\left(\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\) nên \(\dfrac{x}{2}\in\left(\dfrac{\pi}{4};\pi\right)\) nên cos\(\dfrac{x}{2}\) ∈ \(\left(-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Đặt cos\(\dfrac{x}{2}\) = t ⇒ t ∈ \(\left(-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Ta được phương trình : 4t2 = 2m + 3

Cần tìm m để [phương trình được bôi đen] có 2 nghiệm t ∈ \(\left(-1;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

Dùng hàm số bậc 2 là ra. Nhớ kết hợp điều kiện \(m\ne-\dfrac{1}{2}\)

 

31 tháng 8 2021

cosx = 3m + cos2x + 1

⇔ 2cos2x - cosx + 3m = 0 (1)

Đặt cosx = t. Ta được phương trình : 2t2 - t + 3m = 0.

⇔ 2t2 - t = -3m

(2) là phương trình hoành độ giao điểm của f(t) = 2t2 - t và y = - 3m

Khi x ∈ \(\left(-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right)\) thì t ∈ (- 1 ; 0)

(1) có 1 nghiệm trên \(\left(-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right)\) ⇔ (2) có 1 nghiệm t ∈ (- 1 ; 0)

⇒ f(0) < - 3m < f(-1)

⇒ 0 < - 3m < 3

 ⇒ - 1 < m < 0 (1)

Khi x ∈ \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\) thì t ∈ (0 ; 1].

(1) có 2 nghiệm trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\) khi vầ chỉ khi (2) có 2 nghiệm trên (0 ; 1].

⇒ \(f\left(\dfrac{1}{4}\right)< -3m< f\left(0\right)\)

⇒ \(-\dfrac{1}{8}< -3m< 0\)

⇒ 0 < m < \(\dfrac{1}{24}\) (2)

Từ (1), (2) => Không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán

10 tháng 8 2021

Ta có : \(\left(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)^2+\sqrt{3}\cos x=2\)

\(\Leftrightarrow\sin^2\dfrac{x}{2}+2\sin\dfrac{x}{2}.\cos\dfrac{x}{2}+\cos^2\dfrac{x}{2}+\sqrt{3}\cos x-2=0\)

\(\Leftrightarrow1+\sin x+\sqrt{3}\cos x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\)

\(\Leftrightarrow\sin x.\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos x.\sin\dfrac{\pi}{3}=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\left(K\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\left(K\in Z\right)\)

Vậy ...

NV
21 tháng 9 2021

Gọi số cần lập là \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\)

\(\Rightarrow a_1\ge3\)

\(\Rightarrow a_1\) có 4 cách chọn (3;4;5;6)

5 chữ số còn lại có \(A_5^5=120\) cách

\(\Rightarrow4.120=480\) số thỏa mãn