Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn D
Ta có y ' = - 3 x 2 + 3 m
y ' = 0 ⇔ x 2 - m = 0 (*)
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị
⇔ P T ( * ) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 ( * * )
Khi đó 2 điểm cực trị
Tam giác OAB vuông tại O
V ậ y m = 1 2
Với mọi \(x\in R,y'=3x^2+6mx\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2m\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m\ne0\). Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là \(A\left(0;2\right),B\left(-2m;4m^3+2\right)\)
\(S_{OAB}=1\Leftrightarrow OA.d\left(B;OA\right)=4\Leftrightarrow\left|2\right|=2\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-1\end{cases}\) (thỏa mãn)
Vậy với \(m=\pm1\) thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài
Bài 1: Ta có
\(y'=0\Leftrightarrow x[2mx^2-(m+1)]=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 2mx^2-(m+1)=0(1)\end{matrix}\right.\)
Một điểm nằm trên trục tọa độ thì tung độ hoặc hoành độ phải bằng $0$. Do đó yêu cầu đề bài được đáp ứng khi $y'=0$ có nghiệm $x=0$ hoặc nếu $x$ khác $0$ thì tung độ tương ứng phải bằng $0$
+) Nếu \(m=0\) : $(1)$ vô nghiệm . $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $m=-1$ : $(1)$ có nghiệm $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $-1< m< 0$. Từ \((1)\Rightarrow x^2=\frac{m+1}{2m}< 0\) (vô lý) nên $(1)$ vô nghiệm. $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu \(m>0\) hoặc \(m< -1\)
$(1)$ có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}}\neq 0\)
\(\Rightarrow y=m(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^4-(m+1)(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^2+(m+1)\)
\(=\frac{(m+1)^2}{4m}-\frac{(m+1)^2}{2m}+(m+1)\)
\(=(m+1)-\frac{(m+1)^2}{4m}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) . Vì \(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
Vậy \(-1\leq m\leq 1 \text{or m}=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Ta có: \(y'=4x^3+4mx=0\Leftrightarrow x(x^2+m)=0\)
Nếu $m\geq 0$. PT $y'=0$ có duy nhất nghiệm $x=0$. Ta chỉ thu được 1 điểm cực trị (loại)
Nếu $m<0$. Ngoài $x=0$ pt $y'=0$ còn có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{-m}\neq 0\)
(thu được 3 cực trị)
Khi đó:
\(y=(\pm \sqrt{-m})^4+2m(\pm \sqrt{-m})^2+4=m^2-2m^2+4=4-m^2\)
Để điểm cực trị nằm trên trục tọa độ thì \(y=0\Leftrightarrow 4-m^2=0\Leftrightarrow m=-2\) (do $m< 0$)
Vậy \(m=-2\)
Câu 1:
\(\Leftrightarrow x^2-4x+5+\sqrt{x^2-4x+5}-5=m\)
Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}=a\ge1\)
\(\Rightarrow a^2+a-5=m\) (1)
Xét phương trình: \(x^2-4x+5=a^2\Leftrightarrow x^2-4x+5-a^2=0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=5-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Nếu \(5-a^2>0\Rightarrow1\le a< \sqrt{5}\) thì pt có 2 nghiệm dương
Nếu \(5-a^2\le0\) \(\Leftrightarrow a\ge\sqrt{5}\) thì pt có 1 nghiệm dương
Vậy để pt đã cho có đúng 2 nghiệm dương thì: (1) có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(1\le a< \sqrt{5}\) hoặc có 2 nghiệm pb \(a_1>a_2\ge\sqrt{5}\)
Xét \(f\left(a\right)=a^2+a-5\) với \(a\ge1\)
\(f'\left(a\right)=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}< 1\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến \(\forall a\ge1\) \(\Rightarrow y=m\) chỉ có thể cắt \(y=f\left(a\right)\) tại nhiều nhất 1 điểm có hoành độ \(a\ge1\)
\(f\left(1\right)=-3\) ; \(f\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\) Để pt có 2 nghiệm pb đều dương thì \(-3\le m< \sqrt{5}\)
Câu 2:
\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) (1)
Ta có: \(mx^2+\left(m+1\right)x+m+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x^2+x+1\right)\ge-x-1\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{-x-1}{x^2+x+1}=f\left(x\right)\) (2)
Để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) \(\Leftrightarrow\left(2\right)\) đúng với mọi \(x\in\left[1;2\right]\)
\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)\)
\(f'\left(x\right)=\frac{-\left(x^2+x+1\right)+\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x}{\left(x^2+x+1\right)^2}>0\) \(\forall x\in\left[1;2\right]\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow m\ge-\frac{3}{7}\)
a) Xét hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\)
Ta có \(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(2ax^2+b=0\left(1\right)\)
Đồ thị hàm số có 3 cực trị phân biệt khi và chỉ khi \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow ab< 0\) (*)
Với điều kiện (*) thì đồ thị có 3 điểm cực trị là :
\(A\left(0;c\right);B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right);C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right)\)
Ta có \(AB=AC=\sqrt{\frac{b^2-8ab}{16a^2}};BC=\sqrt{-\frac{2b}{a}}\) nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi vuông tại A.
Khi đó \(BC^2=2AB^2\Leftrightarrow b^3+8a=0\)
Do đó yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\b^3+8a=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\-8\left(m+1\right)^3+8=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=0\)
b) Ta có yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\OA=BC\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\m^2-4\left(m+1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2\pm2\sqrt{2}\)
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\) với x khác -2
\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\Leftrightarrow\frac{-2x+2m}{2\left(x+2\right)}=\frac{\left(1-2x\right)\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}\Leftrightarrow-2x+2m=\left(1-2x\right)\left(x+2\right)\Leftrightarrow-2x+2m=x-2x^2+2-4x\Leftrightarrow2x^2+x+2m-2=0\)
để đt d cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm pt thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt khác -2
làm tương tự như câu dưới......
Chọn C
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 m x + 3 ( m 2 - 1 )
Hàm số (1) có cực trị thì PT y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ x 2 - 2 m x + m 2 - 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt
Khi đó, điểm cực đại A ( m - 1 ; 2 - 2 m ) và điểm cực tiểu B ( m + 1 ; - 2 m )
Ta có O A = 2 O B ⇔ m 2 + 6 m + 1 = 0
Vậy tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các phần tử thuộc S là 1.
Chọn C