Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cần chứng minh \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\),theo BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{\frac{y+z}{x}}\le\frac{x+y+z}{2x}=\frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}\ge\sqrt{\frac{y+z}{x}}\) (đúng)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z};\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" ko xảy ra do ko có x;y;z thỏa mãn
\(\frac{y+z}{x}=\frac{x+z}{y}=\frac{x+y}{z}=1\) nên ta có ĐPCM
\(\frac{x+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{y+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-y+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2-x+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)^2}{\left(2\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2\sqrt{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{z}}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}\)
Theo tính chất của phân số, ta có:
\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}< \frac{\sqrt{x}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}< \frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\); \(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}< \frac{\sqrt{z}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow VT< \frac{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\) (đpcm)
Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ
\(RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì \(xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)
Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)
Thật vậy,BĐT tương đương với:
\(2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(x+y+z\ge3\) )
=> đpcm
Áp dụng: \(AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}\)với mọi A, B
Ta có:
\(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}\)
=> \(\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)
Tương tự
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\)
\(=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)\)
\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}\)
\(=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)(1)
Ta có: \(x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x, y, z
=> \(\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)
=> \(\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
=> \(x+y+z\ge3\)với mọi x, y, z dương
Và \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\)
Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\)
Đặt: x + y + z = t ( t\(\ge3\))
Xét hiệu: \(\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0\)với mọi t \(\ge3\)
Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)(2)
Từ (1); (2)
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1
Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\).
Xét 4 số m, n, p, q. Ta sẽ chứng minh \(\left(m+n+p+q\right)^2\le4\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\) (*)
Thật vậy:
(*) \(\Leftrightarrow2\left(mn+np+pq+qm+mp+nq\right)\le3\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-q\right)^2+\left(q-m\right)^2+\left(m-p\right)^2+\left(n-q\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Từ đó: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{z}\right)^2\le4\left(x+y+z+z\right)=4\left(x+y+2z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\le2\sqrt{x+y+2z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\le\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}ab\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2}ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự, ta có:
\(\sum\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\sum a=\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT trên ta có :
\(\frac{1}{3}VP\le\frac{1}{9}.3\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)=\frac{1}{3}VT\)
Xảy ra khi \(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt !!!
ta có bdt (\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))(a+b+c)\(\ge\)9 (dễ dàng chứng minh) => \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Áp dụng bdt trên ta được
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{9}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge\frac{9}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}}\)
Cộng vế theo vế ta đươc đt cần chứng minh
Dấu bằng khi x=y=z
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)
BĐT cần chứng minh: \(\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(VT=a\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+b\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)+c\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\)
Mà: \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge\frac{2}{c}\) ; \(\frac{c}{ab}+\frac{b}{ac}\ge\frac{2}{a}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (đpcm)