Question

[Nguyễn Thị Phương Trang]

CMR: A= 2+2^2+2^3+.....+2^59+2^60. chia hết cho 42. giúp mk nha ^.^. cảm ơn

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Ta có: \(42=2.3.7\)nên để chứng minh \(A\)chia hết cho \(42\)thì ta chứng minh \(A\)chia hết cho \(2,3,7\).

- Vì \(A\)là tổng của các số hạng chia hết cho \(2\)nên \(A⋮2\).

- \(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)

\(A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)

\(A=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{59}\left(1+2\right)\)

\(A=3\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\).

- \(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)

\(A=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

\(A=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\)

Từ đây ta có đpcm.