Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Chắc xét hàm số tổng quát!
Xét hàm số tổng quát:
\(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k\left(k+1\right)}\right)\)
\(=\sqrt{k}\left[\sqrt{\dfrac{1}{k}}^2-\sqrt{\dfrac{1}{k+1}}^2\right]\)
\(=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(=\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Vì \(\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 1\Rightarrow1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2\)
Do đó \(\left(1+\dfrac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2.\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) (1)
Áp dụng điểu (1) ta được:
\(\dfrac{1}{2}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
...................................
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Với mọi giá trị của \(n>0\) ta luôn có: \(\sqrt{n+1}>0\)
Do đó \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) (đpcm)
Với mọi n >1 ta đều có: \(\sqrt{n+1}>\sqrt{n}>\sqrt{n-1}>0\Rightarrow\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}>\sqrt{n}+\sqrt{n-1}>0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)\(\Rightarrow\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{n-\left(n-1\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{n+1}-\sqrt{n}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}\)đpcm.
Từ đó ta có:
\(2\sqrt{2}-2< \frac{1}{\sqrt{1}}=1;\)
\(2\sqrt{3}-2\sqrt{2}< \frac{1}{\sqrt{2}}< 2\sqrt{2}-2;\)
\(2\sqrt{4}-2\sqrt{3}< \frac{1}{\sqrt{3}}< 2\sqrt{3}-2\sqrt{2};\)
...
\(2\sqrt{1006010}-2\sqrt{1006009}< \frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\sqrt{1006009}-2\sqrt{1006008};\)
Cộng từng vế ta được:
\(2\sqrt{1006009}-2< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\cdot1003-1\)
\(2004< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2005\)đpcm
Một bất đẳng thức HAY và rất chặt! 1 tổng các phân thức của căn thức bị chặn bởi 2 số tự nhiên liên tiếp!