Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Với \(n\in N\Rightarrow2^{4n}-1=16^n-1=\left(16-1\right).\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)\)
\(=15.\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)⋮15\)
b) Với \(n\in N\Rightarrow16^n-15n-1=\left(16^n-1\right)-15n\)
mà \(\left(16^n-1\right)⋮15\left(cma\right);15n⋮15\)
\(\Rightarrow16^n-15n-1⋮15\)
Ta có: A = 20n + 16n - 3n - 1
Do n chẵn => n = 2k
Khi đó: A = 202k + 162k - 32k - 1
A = (202k - 1) + (256k - 9k)
Do 202k - 1 \(⋮\)(20 - 1) = 19
256k - 9k \(⋮\)(256 - 9) = 247 \(⋮\)19
=> A \(⋮\)19 (1)
Mặt khác, ta lại có:
A = 202k + 162k - 32k - 1 = (202k - 32k) + (256k - 1)
Do 202k - 32k \(⋮\)(20 - 3) = 17
256k - 1 \(⋮\)(256 - 1)= 255 \(⋮\)17
=> A \(⋮\)17 (2)
Mà (17; 19) = 1 => A \(⋮\)17.19 = 323 (đpcm)
Vì n chẵn
Đặt n = 2k (k \(\inℕ\))
Khi đó A = 20n + 16n - 3n - 1
= 202k + 162k - 32k - 1
= 400k + 256k - 9k - 1
= (400k - 1) + (256k - 9k)
= (400 - 1)(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + (256 - 9)(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 399(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 247(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 19.21.(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 19.13(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 19.(21.(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 13(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)) \(⋮\)19 (1)
Lại có A = 400k + 256k - 9k - 1
= (400k - 9k) + (256k - 1)
= (400 - 9)(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + (256 - 1)(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 391(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 255(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 17.23(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 17.15(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 17.(23(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 15(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)) \(⋮\)17 (2)
Lại có ƯCLN(17;19) = 1 (3)
Từ (1)(2)(3) => A \(⋮17.19=323\)(ĐPCM)
1/
$A=n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n^2-1)(n+3)$
$=(n-1)(n+1)(n+3)$
Do $n$ lẻ nên đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$A=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3)=2k(2k+2)(2k+4)$
$=8k(k+1)(k+2)$
Vì $k,k+1, k+2$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chẵn, 1 số chia hết cho 3.
$\Rightarrow k(k+1)(k+2)\vdots 2, k(k+1)(k+2)\vdots 3$
$\Rightarrow k(k+1)(k+2)\vdots 6$ (do $(2,3)=1$)
$\Rightarrow A\vdots (8.6)$ hay $A\vdots 48$.
2/
$B=n^{12}-n^8-n^4+1=(n^{12}-n^8)-(n^4-1)$
$=n^8(n^4-1)-(n^4-1)=(n^8-1)(n^4-1)$
$=(n^4-1)(n^4+1)(n^4-1)$
Đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$(n^4-1)(n^4-1)=[(n-1)(n+1)(n^2+1)]^2$
$=[2k(2k+2)(4k^2+4k+2)]^2=[8k(k+1)(2k^2+2k+1)]^2$
Vì $k,k+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$
$\Rightarrow 8k(k+1)\vdots 16$
$\Rightarrow (n^4-1)(n^4-1)=[8k(k+1)(2k^2+2k+1)]^2\vdots 16^2=256$
Mà $n^4+1\vdots 2$ do $n$ lẻ.
$\Rightarrow (n^4-1)(n^4-1)(n^4+1)\vdots (2.256)$
Hay $B\vdots 512$
\(\left(x+y\right)^3-x^3y^3=\left(x+y\right)^3-\left(xy\right)^3\)
=\(\left(x+y+xy\right)\left[\left(x+y\right)^2-xy\left(x+y\right)+x^2+y^2\right]\)
Câu 2 nè:
Ta có:2006 = 2.17.59
Để q chia hết cho 2006 thì n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006
Với n<50 thì n, (n+1), ... (n+9) < 59 nên ko thoả mãn.
Với n=50: thì n+1 = 51 chia hết cho 17; n+9=59 chia hết cho 59
suy ra n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006
* Ta sẽ chứng minh n=50 là số tự nhiên nhỏ nhất thoả mãn.
- Đặt S = \(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{59}\)
\(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{58}=\frac{A}{B}\)(trong đó B ko chia hết 59)
\(\Rightarrow S=\frac{A}{B}+\frac{1}{59}=\frac{\left(59A+B\right)}{59B}=\frac{p}{q}\)
hay (59A + B)q = 59Bp hay Bq = 59(Bp - Aq)
Do B ko chia hết 59 suy ra q chia hết 59.
- Đặt \(\frac{1}{50}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{58}=\frac{C}{D}\) ta cũng có D ko chia hết cho 17
Chứng minh tương tự suy ra q chia hết cho 59, 17, 2
=>đpcm
nếu đề có thêm điều kiện n nhỏ nhất thì làm như vậy còn ko thì chỉ chép đến chỗ dấu "'*" thui
b, vì a và b là 2 stn liên tiếp nên a=b+1 hoặc b=a+1
cho b=a+1
\(A=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+a^2b^2=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)
\(=a^2+\left(a+1\right)^2\left(a^2+1\right)=a^2+\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a^2+2a\left(a^2+1\right)+\left(a^2+1\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1=a\left(a+1\right)+1=ab+1\)
vì a b là 2 stn liên tiếp nên sẽ có 1 số chẵn\(\Rightarrow ab\)chẵn \(\Rightarrow ab+1\)lẻ \(\Rightarrow\sqrt{A}\)lẻ (đpcm)
Làm cả câu a đi nhé! Nếu bạn làm được cả câu a thì mình k! ^_^ *_*
a, 11n+2+122n+1
= 11n.121+12.122n
= 11n.(133-12)+12.122n
= 11n.133-11nn .12+12.122n
=12.(144n-11n)+11n. 133
Có 144nn-11n \(⋮\)144-11=133
11n.133\(⋮\)133
=> dpcm
Ta có:
a) ( 3 n + 1 ) 2 - 25 = 3(3n - 4)(n + 2) chia hết cho 3;
b) ( 4 n + 1 ) 2 - 9 = 8(2n - 1)(n +1) chia hết cho 8.