Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}=\sum\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\sum\dfrac{2\sqrt{2}a}{2b+a+b}=2\sqrt{2}\sum\dfrac{a}{a+3b}\)
\(=2\sqrt{2}\sum\dfrac{a^2}{a^2+3ab}\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
\(\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+c^2+c^2\right)}}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{2\left(a^2+b^2\right)+2c^2}\)\(=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\ge ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\); \(\sqrt{\dfrac{ac+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ac+2b^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\ge2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac=2+ab+bc+ac\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Ngọc có cách khác :
Trong mặt phẳng tọa độ , ta chọn các điểm \(A\left(a;0\right)\) , \(B\left(\frac{b}{2};\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)\) ; \(C\left(-\frac{c}{2};\frac{c\sqrt{3}}{2}\right)\)
Khi đó : \(AB=\sqrt{\left(\frac{b}{2}-a\right)^2+\left(\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-ab+b^2}\)
\(BC=\sqrt{\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{c\sqrt{3}}{2}-\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{b^2-bc+c^2}\)
\(AC=\sqrt{\left(-\frac{c}{2}-a\right)^2+\left(\frac{c\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2+ac+c^2}\)
Mà trong ba điểm thì ta luôn có : \(AB+BC\ge AC\)
Vậy \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\sqrt{a^2+ac+c^2}\)
Bình phương 2 vế rồi rút gọn ta được
\(2\sqrt{\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\ge ab+bc-ac-2b^2\)
Tiếp tục bình phương 2 vế rồi rút gọn ta được
\(3a^2b^2+3b^2c^2+3a^2c^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+\left(ab-ac\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc--ac\right)^2\ge0\)
=> ĐPCM là đúng và đạt được khi a = b = c = 0