Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tk mình đi mọi người mình bị âm nè!
Ai tk mình mình tk lại cho!
\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\) \(< \frac{1}{4}\)
Gọi \(d=\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n^3+2n\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n^3+2n\right)=\left(n^4+2n^2\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow n^2+1⋮d\Leftrightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)
\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> P/s tối giản
Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right);\left(d>0\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\left(1\right)\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)
Từ \(\left(1\right)\): \(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)
\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)
\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow n^2+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)
\(\Rightarrow n^4+2n^2+1⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)(do \(n^4+2n^2⋮d\))
Vì \(d>0\)\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)là phân số tối tối giản với mọi n nguyên
Gọi d là ƯC(n3+2n;n4+3n2+1)
n3+2n chia hết d;n4+3n2+1 chia hết d
n(n3+2n) chia hết d ; n4+3n2+1 chia hết d
n4+2n2 chia hết d; n4+3n2+1 chia hết d
(n4+3n2+1) - (n4+2n2) chia hết d
n2+1 chia hết d
n(n2+1) chia hết d
n3+n chia hết d
(n3+2n)-(n3+n) chia hết d
n chia hết d
n2 chia hết d
(n2+1)-(n2) chia hết cho d
1 chia hết d
d=1
PS tối giản
Gọi d là ước chung của \(n^3+2n\) và \(n^4+3n^2+1\) . ta có :
+) \(n^3+2n⋮d\)
\(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)
\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\) (1)
Và \(n^4+3n^2+1-\left(n^4+2n^2\right)=n^2+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2=n^4+2n^2+1⋮d\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\left(n^4+2n^2+1\right)-\left(n^4+2n\right)^2⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)
Vậy \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản (đpcm)
a) Đặt \(A=\frac{3n+1}{5n+2}\). Gọi ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = d \(\left(d\ge1\right)\)
Khi đó : \(3n+1⋮d\) và \(5n+2⋮d\)
\(\Rightarrow5\left(3n+1\right)⋮d\) và \(3\left(5n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3\left(5n+2\right)-5\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\)
Suy ra ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = 1 , vậy A là phân số tối giản.
b) Đặt \(B=\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) . Gọi ƯCLN(n3+2n , n4+3n2+1) = d \(\left(d\ge1\right)\)
Khi đó : \(B=\frac{n\left(n^2+2\right)}{n^2\left(n+2\right)+n^2+1}\)
Ta có : \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) và \(n^2\left(n+2\right)+n^2+1⋮d\)
Từ \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}n⋮d\\n^2+2⋮d\end{array}\right.\)
TH1. Nếu \(n⋮d\) thì ta viết dưới mẫu thức B dưới dạng :
\(n\left(n^3+3n\right)+1⋮d\) . mà n(n3+3n)\(⋮\)d => \(1⋮d\) \(\Rightarrow d\le1\)
Mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\). Lập luận tương tự câu a) , suy ra đpcm
TH2. Nếu \(n^2+2⋮d\) thì ta viết mẫu thức B dưới dạng :
\(\left(n^4+2n^2\right)+\left(n^2+2\right)-1=\left(n^2+2\right)\left(n^2+1\right)-1⋮d\)
mà n2+2 \(⋮\)d nên \(1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\) => d = 1
Lập luận tương tự...
a)Gọi UCLN(3n+1;5n+2) là d
Ta có:
[3(5n+2)]-[5(3n+1)] chia hết d
=>[15n+6]-[15n+5] chia hết d
=>1 chia hết d.Suy ra 3n+1 và 3n+5 là số nguyên tố cùng nhau
=>Phân số tối giản
b)Gọi d là UCLN(n3+2n;n4+3n2+1)
Ta có:
n3+2n chia hết d =>n(n3+2n) chia hết d
=>n4+2n2 chia hết d (1)
n4+3n2-(n4+2n2)=n2+1 chia hết d
=>(n2+1)2=n4+2n2+1 chia hết d (2)
Từ (1) và (2) => (n4+3n2+1)-(n4-2n2) chia hết d
=>1 chia hết d
=>d=1.Suy ra n3+2n và n4+3n2+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=>Phân số trên tối giản
Gọi d là ước chung của n^3 + 2n và n^4 + 3n^2 + 1. Ta có:
n^3 + 2n chia hết cho d => n(n^3 + 2n) chia hết cho d => n^4 + 2n^2 chia hết cho d (1)
n^4 + 3n^2 + 1 -(n^4 + 2n^2) = n^2 + 1 chia hết cho d => (n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1 chia hết cho d (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
(n^4 + 2n^2 + 1)- (n^4 + 2n^2) chia hết cho d => 1 chia hết cho d => d=+-1
Vậy phân số trên tối giản vì mẫu và tử có ước chung là +-1
Phân số trên sẽ tối giản vì không có bất kì các số nào có thể rút gọn với nhau .
Nếu như có thể thì khi ta cộng lại cũng không thể , vì đang rút được ta cộng một vào bất kì ( mẫu / tử ) đều khiến phép tính không thể rút gọn tiếp được nữa .
Vậy không thể rút gọn và phân số này đã tối giản
Với n = 1 thì ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1\)
Giả sử bất đẳng thức trên đúng tới n = k hay
\(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Ta có: \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{3k+4}\)
\(=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}\right)+\left(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Ta đã có: \(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\) nên ta cần chứng minh
\(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(3k+2\right)\left(3k+3\right)\left(3k+4\right)}>0\) đúng
Vậy theo quy nạp thì \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\) đúng với mọi n nguyên dương.
Cho t hỏi sao lại có đoạn \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+....+\frac{1}{3k+4}\)tòi ra và phải c/minh nó lớn hơn 0??