Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
gọi a,b,c là 3 cạnh của tam giác.
Ta có :\(cot\left(\dfrac{A}{2}\right)+cot\left(\dfrac{C}{2}\right)=2cot\left(\dfrac{B}{2}\right)\) <=> \(\dfrac{cot\left(\dfrac{A}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)}+\dfrac{cos\left(\dfrac{C}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=\dfrac{2.cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\)
<=> \(\dfrac{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)cos\left(\dfrac{A}{2}\right)+cos\left(\dfrac{C}{2}\right)sin\left(\dfrac{A}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right).sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}\)
<=> \(\dfrac{sin\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\) <=> \(\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)}=2.\dfrac{cos\left(\dfrac{B}{2}\right)}{sin\left(\dfrac{B}{2}\right)}\)
<=> \(sin\left(\dfrac{B}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)=2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=> \(\dfrac{1}{2}sinB=\left[cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)-cos\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)\right]cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=>\(\dfrac{1}{2}sinB=cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)-sin\left(\dfrac{B}{2}\right)cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
<=> \(\dfrac{1}{2}sinB=cos\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{C}{2}\right)sin\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{C}{2}\right)-\dfrac{1}{2}sinB\)
<=> sinB = \(\dfrac{1}{2}\left(sinA+sinC\right)\) <=> \(2sinB=sinA+sinC\)
<=> \(2.\dfrac{b}{2R}=\dfrac{a}{2R}+\dfrac{c}{2R}\)
<=> a+c =2b
=> 3 cạnh của tam giác tạo thành cấp số cộng.
Theo giả thiết ta có : \(\cot A+\cot C=2\cot B\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sin\left(A+C\right)}{\sin A\sin C}=\frac{2\cos B}{\sin B}\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=2\sin B\sin C\cos B=\left[\cos\left(A-C\right)-\cos\left(A+C\right)\right]\cos B\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=\cos\left(A-C\right)\cos B-\cos\left(A+C\right)\cos B=-\cos\left(A-C\right)\cos\left(A+C\right)+\cos^2B\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=-\frac{1}{2}\left(\cos2A+\cos2C\right)+1-\sin^2B=-\frac{1}{2}\left(1-2\sin^2A+1-2\sin^2C\right)+1-\sin^2B\)
\(\Rightarrow2\sin^2B=\sin^2A+\sin^2C\Leftrightarrow2b^2=a^2+c^2\)
Vậy chứng tỏ \(a^2,b^2,c^2\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng
Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)
Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng
Lời giải:
Nếu $a,b,c$ lập thành csc thì $b=a+m, c=a+2m$ với $m$ là công sai.
Khi đó:
$3(a^2+b^2+c^2)-6(a-b)^2=3[a^2+(a+m)^2+(a+2m)^2]-6(a-a-m)^2$
$=3(a^2+a^2+m^2+2am+a^2+4m^2+4am)-6m^2$
$=3(3a^2+5m^2+6am)=9a^2+15m^2+18am-6m^2$
$=9a^2+9m^2+18am$
$=9(a^2+m^2+2am)=9(a+m)^2=(3a+3m)^2$
$=(a+a+m+a+2m)^2=(a+b+c)^2$ (đpcm).
Ba số \(\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{b - a}} + \frac{2}{{b - c}} = 2.\frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{{b - a}} + \frac{1}{{b - c}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{\left( {b - c} \right) + \left( {b - a} \right)}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} = \frac{1}{b}\\ \Leftrightarrow \frac{{b - c + b - {\rm{a}}}}{{{b^2} - ab - bc + ac}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{2b - c - {\rm{a}}}}{{{b^2} - ab - bc + ac}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow b\left( {2b - c - {\rm{a}}} \right) = {b^2} - ab - bc + ac\\ \Leftrightarrow 2{b^2} - bc - {\rm{ab}} = {b^2} - ab - bc + ac \Leftrightarrow {b^2} = {\rm{a}}c\end{array}\).
Vậy ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Gọi công bội của cấp số nhân là q => b=a.q; c=a.q^2
Gọi công sai của cấp số cộng là d => b=a+2d; c=a+8d
Ta có: a.q=a+2d => \(q=\dfrac{a+2d}{a}=1+2\dfrac{d}{a}\)
\(a.q^2=a+8d\Rightarrow q^2=\dfrac{a+8d}{a}=1+8\dfrac{d}{a}\)
Suy ra \(\left(1+2\dfrac{d}{a}\right)^2=1+8\dfrac{d}{a}\Rightarrow\dfrac{d}{a}=1\left(d\ne0\right)\)
=> b=a+2a=3a; c=a+8a=9a
Theo bài ra a+b+c=26 => a+3a+9a=13a=26 => a=2; b=6; c=18
Vậy ba số cần tìm là a=2; b=6; c=18
