Question

[Kutevippro]

Chứng minh rằng : 7n+10 va 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Answer 1

[°☆Šuβเη☆°ﾟ]

Gọi d là ƯCLN(7n+10;5n+7)

Ta có 

\(\hept{\begin{cases}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5.\left(7n+10\right)⋮d\\7.\left(5n+7\right)⋮d\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(35n+50\right)-\left(35n+49\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vì hai số đã cho có ước chung lớn nhất là 1 nên hai số đã cho là hai số nguyên tố cùng nhau

Answer 2

[Team Free Fire 💔 Tớ Đang Buồn 💔 Te...]

• Oehh2102

Giải thích các bước giải:

Giả sử hai số 7n+10 và 5n+7 không nguyên tố cùng nhau

Gọi UCLN của 2 số là d(d>1,d∈N)

⇒⎧⎨⎩7n+10⋮d5n+7⋮d⇔⎧⎨⎩(5n+7)+(2n+3)⋮d5n+7⋮d⇔⎧⎨⎩2n+3⋮d5n+7⋮d⇒⎧⎨⎩3(2n+3)⋮d5n+7⋮d⇔⎧⎨⎩6n+9⋮d5n+7⋮d⇔⎧⎨⎩5n+7+n+2⋮d5n+7⋮d⇒n+2⋮d⇒2(n+2)⋮d⇔2n+4⋮d2n+3⋮d⇒(2n+4)−(2n+3)⋮d⇒1⋮d⇒d=1⇒{7n+10⋮d5n+7⋮d⇔{(5n+7)+(2n+3)⋮d5n+7⋮d⇔{2n+3⋮d5n+7⋮d⇒{3(2n+3)⋮d5n+7⋮d⇔{6n+9⋮d5n+7⋮d⇔{5n+7+n+2⋮d5n+7⋮d⇒n+2⋮d⇒2(n+2)⋮d⇔2n+4⋮d2n+3⋮d⇒(2n+4)−(2n+3)⋮d⇒1⋮d⇒d=1

Mà d>1 

⇒Giả sử là sai 

⇒đpcm