BH
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
16 tháng 1 2016
\(\sqrt{2014^2\left(\frac{1}{2014^2}+1+\frac{1}{2015^2}\right)}-\frac{2014}{2015}=2014\sqrt{\left(1+\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}\right)^2}-\frac{2014}{2015}\)
\(=2014\left(1+\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}\right)-\frac{2014}{2015}=2015\)
16 tháng 1 2016
\(B=\sqrt{2014^2\left(1+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)^2}+\frac{2014}{2015}=2015\)
2 tháng 11 2017
a,a=b+1
suy ra a-b=1 suy ra(\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\))(\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\))=1
suy ra \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)=\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)(1)
vì a=b+1 suy ra a>b suy ra \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)suy ra \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>2\sqrt{b}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)(2)
từ (1) ,(2) suy ra\(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)suy ra \(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)(*)
ta lại có b+1=c+2 suy ra b-c =1 suy ra\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=1\)
suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)
vì b>c suy ra \(\sqrt{b}>\sqrt{c}\) suy ra \(\sqrt{b}+\sqrt{c}>2\sqrt{c}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\)(4)
Từ (3),(4) suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\) suy ra\(2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)< \frac{1}{\sqrt{c}}\)(**)
từ (*),(**) suy ra đccm
15 tháng 10 2016
Chứng minh \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) rồi áp dụng với n = 1,2,....,2014
GR
1
27 tháng 7 2017
Ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Thế vô bài toán được
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2016\sqrt{2015}+2015\sqrt{2016}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}-\frac{1}{\sqrt{2016}}\)
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2016}}\)
21 tháng 9 2018
b, Ta có \(2015^2=\left(2014+1\right)^2=2014^2+2.2014+1\)
=> \(2014^2+1=2015^2-2.2014\)
=> \(B=\sqrt{1+2014^2+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{2015^2-2.2014+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{\left(2015-\frac{2014}{2015}\right)^2}+\frac{2014}{2015}\) = \(2015-\frac{2014}{2015}+\frac{2014}{2015}=2015\)
=> đpcm
Ta có \(2015^2=\left(2014+1\right)^2=2014^2+2.2014+1\)
=> \(2014^2+1=2015^2-2.2014\)
=> \(B=\sqrt{1+2014^2+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{2015^2-2.2014+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{\left(2015-\frac{2014}{2015}\right)^2}+\frac{2014}{2015}\) = \(2015-\frac{2014}{2015}+\frac{2014}{2015}\)
= \(2015\) là số nguyên
=> đpcm
Đặt: n=2014
Ta có: \(1+n^2+\left(\frac{n}{n+1}\right)^2=\frac{\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2+n^2}{\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)^2+n^2\left(n^2+2n+2\right)}{\left(n+1\right)^2}=\frac{\left(n+1\right)^2+2n^2\left(n+1\right)+n^4}{\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left(n^2+n+1\right)^2}{\left(n+1\right)^2}=\left(\frac{n\left(n+1\right)+1}{n+1}\right)^2=\left(n+\frac{1}{n+1}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+n^2+\left(\frac{n}{n+1}\right)^2}=n+\frac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow B=2014+\frac{1}{2015}+\frac{2014}{2015}=2015\)