Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(P=(\sqrt{x}+1)-\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+(\sqrt{y}+1)-\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+(\sqrt{z}+1)-\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\)
\(=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+3)-\left[\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\right]\)
\(=6-\left[\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\right](1)\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\leq \frac{y(\sqrt{x}+1)}{2\sqrt{y}}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{2\sqrt{z}}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})}{2}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\leq \frac{1}{3}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\)
\(\Rightarrow \frac{y(\sqrt{x}+1)}{y+1}+\frac{z(\sqrt{y}+1)}{z+1}+\frac{x(\sqrt{z}+1)}{x+1}\leq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+\frac{1}{3}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{2}=3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq 6-3=3\)
Vậy \(P_{\min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta đi c/m BĐT sau: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) (*)
Thật vậy (*) \(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)(Do xyz=1)
Tương tự: \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)};\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)
Vậy Max A = 1. Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1.
a, Từ x+y=1
=>x=1-y
Ta có: \(x^3+y^3=\left(1-y\right)^3+y^3=1-3y+3y^2-y^3+y^3\)
\(=3y^2-3y+1=3\left(y^2-y+\frac{1}{3}\right)=3\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)\)
\(=3\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right]=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\) với mọi y
=>GTNN của x3+y3 là 1/4
Dấu "=" xảy ra \(< =>\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0< =>y=\frac{1}{2}< =>x=y=\frac{1}{2}\) (vì x=1-y)
Vậy .......................................
b) Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}\)
\(=\left(\frac{x^2}{y+z}+x\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+y\right)+\left(\frac{z^2}{y+z}+z\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+z}-\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\)
Đặt \(A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\)
\(A=\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z}{y+x}+1\right)-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+x}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+x}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
(phần này nhân phá ngoặc rồi dùng biến đổi tương đương)
\(=>P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\ge2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\)
=>minP=1
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z
Vậy.....................
x,y,z là số thực à khó đấy số dương thì mk còn làm đc
chứ số thực mk chịu
Biến đổi tương đương ta CM được BĐT sau: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)
CM tương tự với các phân thức còn lại
Cộng vế theo vế các BĐT đó ta được:
\(A\le\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)
Vậy Max A=1 <=> x=y=z=1
Đề bài mâu thuẫn quá. Cả x,y,z đều lớn hơn 0 thì làm sao xyz = 0 được
Câu hỏi của Lâm Minh Anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Theo BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\sqrt{z}^2\right]\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}=3\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engle ( hay là BCS ) ta có:
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
PS:Hôm nay rảnh quá nên viết cả tên BĐT ra,bình thường thì mik ko viết:v
Lời giải:
Đề cần bổ sung điều kiện $x,y,z>0$
Xét hiệu:
$x^3+y^3-xy(x+y)=(x-y)^2(x+y)\geq 0, \forall x,y>0$
$\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)$
$\Rightarrow x^3+y^3+1=x^3+y^3+xyz\geq xy(x+y+z)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{1}{y^3+z^3+1}\leq \frac{x}{x+y+z}; \frac{1}{z^3+x^3+1}\leq \frac{y}{x+y+z}$
Cộng theo vế các BĐT trên thu được:
$A\leq \frac{x+y+z}{x+y+z}=1$
Vậy $A_{\max}=1$ khi $x=y=z=1$
Có BĐT phụ:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Áp dụng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{1}{xyz}\)
cm bai toan phu
a3+b3\(\ge ab\left(a+b\right)\)
ta co \(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>bai toan phu dung
=>\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
=>a3+b3+1\(\ge ab\left(a+b+c\right)\)
=>A\(\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{\left(x+y+z\right)}+\frac{y}{\left(x+y+z\right)}=1\)
MaxA=1<=>x=y=z=1