HP
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
14 tháng 9 2018
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0\)
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
14 tháng 9 2018
ta co: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}.\)
=> 1/xy + 1/yz + 1/xz = 0
=> x + y + z = 0
Lai co: x3 + y3 +z3 - 3xyz = (x+y+z).(x2+y2+z2 - xy - yz - zx)
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
=> x3 + y3 + z3 = 3xyz
8 tháng 5 2021
* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )
Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)
Chứng minh tương tự khi đó :
\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)
\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)
\(\Rightarrow P\le2016\)
NH
1
27 tháng 7 2023
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2
=>2(xy+yz+xz)=0
=>xy+xz+yz=0
=>xy/xyz+xz/xyz+yz/xyz=0
=>1/x+1/y+1/z=0
T
xét các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P=7/x2+y2+z2 +121/14(xy+yz+zx)
0
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
TN
2 tháng 4 2017
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}=a\\\frac{1}{y^2}=b\\\frac{1}{z^2}=c\end{cases}}\Rightarrow abc=1\) và ta cần chứng minh
\(\frac{1}{2a+b+3}+\frac{1}{2b+c+3}+\frac{1}{2c+a+3}\le\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2a+b+3=\left(a+b\right)+\left(a+1\right)+2\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2a+b+3}\le\frac{1}{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{2b+c+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1};\frac{1}{2c+a+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{ac}+\sqrt{c}+1}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ac}+1}\right)\le\frac{1}{2}=VP_{\left(2\right)}\left(abc=1\right)\)
bạn tự cm x+y+z=0 đi rồi làm tiếp
dễ dàng CM: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow3xyz\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}+\frac{x}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}=x\)
CM tương tự với các phân số còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:
\(P\ge x+y+z-\frac{x+2}{9}-\frac{y+2}{9}-\frac{z+2}{9}-\frac{x}{3}-\frac{y}{3}-\frac{z}{3}\)
\(=\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\)
Phải CM: \(\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\ge1\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Mặt khác lại có: \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{9}{3}=3\)
Vậy \(x+y+z\ge3\)
Vậy BĐT ban đầu đã được CM
hay ...>=1