Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài \(1a.\) Tìm \(x,y,z\) biết \(x^2+4y^2=2xy+1\) \(\left(1\right)\) và \(z^2=2xy-1\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(x^2+4y^2+z^2=4xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-4xy+4y^2+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2y\right)^2+z^2=0\)
Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0\) và \(z^2\ge0\) với mọi \(x,y,z\)
nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra \(\left(x-2y\right)^2=0\) và \(z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(^{x-2y=0}_{z^2=0}\) \(\Leftrightarrow\) \(^{x=2y}_{z=0}\)
Từ \(\left(2\right)\), với chú ý rằng \(x=2y\) và \(z=0\), ta suy ra:
\(2xy-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(2.\left(2y\right).y-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(4y^2-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(y^2=\frac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(y=\frac{1}{2}\) hoặc \(y=-\frac{1}{2}\)
\(\text{*)}\) Với \(y=\frac{1}{2}\) kết hợp với \(z=0\) \(\left(cmt\right)\) thì \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2.x.\frac{1}{2}-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
\(\text{*)}\) Tương tự với trường hợp \(y=-\frac{1}{2}\), ta cũng dễ dàng suy ra được \(x=-1\)
Vậy, các cặp số \(x,y,z\) cần tìm là \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}\)
\(b.\) Vì \(x+y+z=1\) nên \(\left(x+y+z\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1\) \(\left(3\right)\)
Mặt khác, ta lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) \(\Rightarrow\) \(xy+yz+xz=0\) \(\left(4\right)\) (do \(xyz\ne0\))
Do đó, từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2+z^2=1\)
Vậy, \(B=1\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{y}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{x}\)
\(A=\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\)
\(=\left(\frac{y}{z}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{z}{x}\right)\)
\(=y\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+x\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)+z\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\)
\(=y.\frac{-1}{y}+x.\frac{-1}{x}+z.\frac{-1}{z}=-1-1-1=-3\)
Vậy nên A = -3
Bạn kia làm ra kết quả đúng nhưng cách làm thì tào lao nhưng vẫn ra ???
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=\frac{3}{2}\)
Tương tự:\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\frac{3}{2}\),\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta được:
\(P+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left(x+y+z\right)+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{3}{2}+\frac{6}{4}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2+x}=\frac{x}{2}=\frac{x+1}{4}\\\frac{1}{y^2+y}=\frac{y}{2}=\frac{y+1}{4}\\\frac{1}{z^2+z}=\frac{z}{2}=\frac{z+1}{4},x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+x+y+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{x}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{y}\end{cases}}\) (*)
Ta có: \(A=\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}\)
\(=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\)
\(=\left(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\)
\(=x\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)+y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Thay (*) vào,ta có : \(A=x.\left(\frac{-1}{x}\right)+y.\left(-\frac{1}{y}\right)+z.\left(-\frac{1}{z}\right)=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)
\(a^2-2b+6b+b^2=-10\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+6b+b^2+10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2+6b+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+3\right)^2=0\left(1\right)\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\\\left(b+3\right)^2\ge0\forall b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b+3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=-3\end{cases}}}\)
\(L=\frac{x+y}{z}+1+\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-3=0-3=-3\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engle ta có:
\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{3+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
Vậy Min A = 3/2 khi x = y = z = 1