Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)
\(=\left(\frac{3}{x}+\frac{3x}{4}\right)+\left(\frac{9}{2y}+\frac{y}{2}\right)+\left(\frac{4}{z}+\frac{z}{4}\right)+\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{3z}{4}\right)\)
\(\ge13\)
Dấu "=" xảy ra tại x=2;y=3;z=4
Đặt \(x^3=a,y^3=b,z^3=c\Rightarrow abc=1\)
\(P=\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta chứng minh bổ đề sau
\(\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+2ab^2+2a^2b+b^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Sử dụng bổ đề ta được
\(P\ge\dfrac{a+b}{3}+\dfrac{b+c}{3}+\dfrac{c+a}{3}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge\dfrac{2.3\sqrt[3]{abc}}{3}=2\)
Bài này thì có 2 cách Làm cách cồng kềnh nhất vậy :))
\(M=x^3\left(\frac{1}{xy+9}+\frac{1}{xz+9}\right)+y^3\left(\frac{1}{xy+9}+\frac{1}{yz+9}\right)+z^3\left(\frac{1}{yz+9}+\frac{1}{xz+9}\right)\)
C-S ; ta được : \(\frac{1}{xy+9}+\frac{1}{xz+9}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)+18}=\frac{4}{x\left(9-x\right)+18}=\frac{4}{3x+27-\left(x-3\right)^2}\ge\frac{4}{3x+27}\)
Suy ra : \(M\ge\frac{4}{3}\) . sigma \(\frac{x^3}{x+9}\)
Tiếp tục AD C-S ; ta được : \(\frac{x^3}{x+9}+\frac{3}{16}\left(x+9\right)+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}x\Rightarrow\frac{x^3}{x+9}\ge\frac{33}{16}x-\frac{63}{16}\)
=> sig ma \(\frac{x^3}{x+9}\ge\frac{33}{16}\left(x+y+z\right)-\frac{63}{16}.3=\frac{27}{4}\)
Suy ra : M \(\ge\frac{4}{3}.\frac{27}{4}=9\)
" = " <=> x = y = z = 3
Xong film
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
\(P=\frac{y^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{z^3}{y^2+zx+z^2}+\frac{x^3}{z^2+zx+x^2}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{y^4}{x^2y+xy^2+y^3}+\frac{z^4}{y^2z+z^2x+z^3}+\frac{x^4}{z^2x+zx^2+x^3}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+y^3+z^3+x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge3\)
Dấu "=" khi x=y=z=3
Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24
mình cảm ơn bạn nhiều ạ <3 bạn có thể giúp mình mấy câu mình vừa đăng không
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)1}\le yz\frac{\left(x-1\right)+1}{2}=\frac{xyz}{2}\);
\(zx\sqrt{y-4}=\frac{zx}{2}\sqrt{\left(y-4\right)4}\le\frac{zx}{2}\frac{\left(y-4\right)+4}{2}=\frac{xyz}{4}\);
\(xy\sqrt{z-9}=\frac{xy}{3}\sqrt{\left(z-9\right)9}\le\frac{xy}{3}\frac{\left(z-9\right)+9}{2}=\frac{xyz}{6}\)
\(\Rightarrow\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-4}+xy\sqrt{z-9}}{xyz}\le\frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
Vậy \(P_{max}=\frac{11}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2;y=8;z=18\)