Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ê hiếu t có 1 cách nhưng mà bị ngược dấu :)) có cần t làm ko :))))
6) Ta có
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2xz+yz+2xy+zx+2yz}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+1\ge2y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}\le\frac{1}{2xy+2y+2}\)
Chứng minh tương tự,ta có:
\(\frac{1}{y^2+2z^2+3}\le\frac{1}{2yz+2z+2}\)
\(\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2zx+2x+2}\)
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức,ta có được:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)\)
Mặt khác,ta lại có được:
\(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\)
\(=\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{xy+y+1}+\frac{y}{xy+y+1}\)
\(=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z^2+2x^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Bạn CM x=y=z=1
Sau đó bạn thế số vào và bạn sẽ tính đc phân số là 3/6 rút gọn là 1/2
Cuối cùng bạn sẽ kết luận:
Vì 1/2 ≤ 1/2
Nên ...(biểu thức)...≤1/2
Do \(x;y;z>0\) và \(x^2+y^2+z^2=3\)
Nên \(0< x;y;z< \sqrt{3}\)
Ta có: \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9x}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}\)
\(\Rightarrow A\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}-\frac{1}{9x}-\frac{1}{9y}-\frac{1}{9z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge x+\frac{8}{9x}+y+\frac{8}{9y}+z+\frac{8}{9z}\)
Ta chứng minh: \(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge\)
Do đó \(A\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{102}{18}=\frac{17}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Dòng thứ 3 từ dưới lên là \(\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\)
Đúng do \(0< x< \sqrt{3}< 16\)
Ta có: \(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta có:
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)
Lại có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Do đó \(\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ta có:
\(8=xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
\(\Leftrightarrow a=x+y+z\ge6\)
Ta có:
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(x+y+z\right)+12}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\left(x+y+z\right)+12}=\frac{a^2}{\frac{a^2}{3}+2a+12}=\frac{3a^2}{a^2+6a+36}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{3a^2}{a^2+6a+36}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a-6\right)\left(a+3\right)\ge0\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM
Èo ngược dấu đoạn cuối mất rồi. Sorry nhìn nhầm