Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{y^3z^3+x^3z^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(yz+xz\right)^3+x^3y^3-3xy^2z^3-3x^2yz^3}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{\left(yz+xz+xy\right)\left[\left(yz+xz\right)^2+xy\left(yz+xz\right)+x^2y^2\right]-3xyz^2\left(xz+yz\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{0.\left[\left(yz+xz\right)^2+xy\left(yz+xz\right)+x^2y^2\right]-3xyz^2\left(xz+yz\right)}{x^2y^2z^2}\)
\(=\frac{-3xyz^2\left(xz+yz\right)}{x^2y^2z^2}=\frac{-3\left(xz+yz\right)}{xy}=\frac{-3.\left(-xy\right)}{xy}=3\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
Giải:
Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2)
Cộng (1), (2) theo vế ta được:
\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)
\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)
MinP = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1
Hệ đẳng cấp. Xét 2 TH: x = 0 và x khác 0.
+) Th1: x = 0 ---> không thỏa mãn
+) Th2: x khác 0
Đặt: y = ax; z = bx ( a; b > 0)
ta có hệ mới:
\(\hept{\begin{cases}x^2\left(a^2+b^2\right)=50\\x^2\left(1+a+\frac{a^2}{2}\right)=169\\x^2\left(1+b+\frac{b^2}{2}\right)=144\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2+b^2}{1+a+\frac{a^2}{2}}=\frac{50}{169}\\\frac{1+a+\frac{a^2}{2}}{1+b+\frac{b^2}{2}}=\frac{169}{144}\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}144a^2-50a-50+169b^2=0\\144a^2+288a-50-169b^2-338b=0\end{cases}}\)
Lấy vế dưới trừ vế trên ta có:
\(338a-338b^2-338b=0\) <=> \(a=b^2+b\) Thế vào 1 trong 2 phương trình ta có:
\(144\left(b^2+b\right)^2-50\left(b^2+b\right)-50+169b^2=0\)
<=> \(144b^4+288b^3+263b^2-50b-50=0\)
<=> \(\left(144b^4-25b^2\right)+\left(288b^3-50b\right)+\left(288b-50\right)=0\)
<=> \(\left(144b^2-25\right)\left(b^2+2b+2\right)=0\)
<=> \(144b^2-25=0\)
<=> \(b=\pm\frac{5}{12}\)
+) Với \(b=\frac{5}{12}\)ta có: \(a=\frac{85}{144}\)
Do đó: \(x^2\left[\left(\frac{5}{12}\right)^2+\left(\frac{85}{144}\right)^2\right]=50\)
<=> \(x^2=\frac{41472}{433}\)
=> \(K=xy+yz+zx=ax^2+bx^2+abx^2=x^2\left(a+b+ab\right)\) Em thay vào tính
+) Tương tự với b = -5/12
ta có xy+yz+zx=0=> \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c=0\)
ta xét \(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) \(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
=> \(M=\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
=> M=3