K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 11 2017

\(\dfrac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+x^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+x^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+x^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz\)\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2+2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2+2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2+2bycz+c^2y^2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(ay+bx\right)^2+\left(az+cx\right)^2+\left(bz+cy\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\\bz=cy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{a}{x}=\dfrac{c}{z}\\\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\left(đpcm\right)\)

1 tháng 12 2017

lm khiến ng' ta chả hiểu j

tke cx lm

oeoe

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 11 2018

Lời giải:

\(\frac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow (ax+by+cz)^2=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(\Leftrightarrow 2axby+2bycz+2axcz=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)

\(\Leftrightarrow (a^2y^2+b^2x^2-2axby)+(a^2z^2+c^2x^2-2axcz)+(b^2z^2+c^2y^2-2bycz)=0\)

\(\Leftrightarrow (ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0\)

Vì bản thân mỗi số hạng đều không âm nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((ay-bx)^2=(az-cx)^2=(bz-cy)^2=0\Rightarrow ay=bx; az=cx; bz=cy\)

\(\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Ta có đpcm.

30 tháng 9 2018

Ta có : \(\dfrac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz=a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)

\(\Leftrightarrow2axby+2axvz+2bycz=a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2-2axby-2azcx-2bycz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

Do \(\left(ay-bx\right)^2\ge0;\left(az-cx\right)^2\ge0;\left(bz-cy\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{c}{z}=\dfrac{a}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\left(đpcm\right)\)

:Dbanh

23 tháng 10 2018

Đặt \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{1}{k}\Rightarrow x=ak;y=bk;y=ck\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\frac{a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2}{\left(a^2k+b^2k+c^2k\right)^2}=\frac{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

23 tháng 10 2018

Mạo phép sửa đề!CMR: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

Ta có: \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) 

\(\Rightarrow\frac{x^2}{ax}=\frac{y^2}{by}=\frac{z^2}{cz}=\frac{x^2+y^2+z^2}{ax+by+cz}\)  (t/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\left(ax\right)^2}=\frac{y^2}{\left(by\right)^2}=\frac{z^2}{\left(cz\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}\) (1)

Lại có: \(\frac{x^2}{\left(ax\right)^2}=\frac{y^2}{\left(by\right)^2}=\frac{z^2}{\left(cz\right)^2}=\) \(\frac{x^2}{a^2x^2}=\frac{y^2}{b^2y^2}=\frac{z^2}{c^2z^2}=\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

27 tháng 5 2018

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\\\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\az-cx=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(ax-by\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2x^2-2axby+b^2y^2\right)+\left(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2-\left(a^2x^2+b^2b^2+c^2y^2+2axby+2azcx+2bzcy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+y^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+z^2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+ab+cz\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

27 tháng 5 2018

Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) ( theo bđt Bu-nhi-a Cop-xki )

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

Vậy nếu \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

NV
27 tháng 12 2022

1.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{a}{2a+a+b+c}=\dfrac{a}{25}.\dfrac{\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{3^2}{a+b+c}\right)=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a}{a+b+c}\)

Tương tự:

\(\dfrac{b}{3b+a+c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\dfrac{c}{a+b+3c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{c}{a+b+c}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

NV
27 tháng 12 2022

2.

Đặt \(\dfrac{x}{x-1}=a;\dfrac{y}{y-1}=b;\dfrac{z}{z-1}=c\)

Ta có: \(\dfrac{x}{x-1}=a\Rightarrow x=ax-a\Rightarrow a=x\left(a-1\right)\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}\)

Tương tự ta có: \(y=\dfrac{b}{b-1}\) ; \(z=\dfrac{c}{c-1}\)

Biến đổi giả thiết:

\(xyz=1\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=1\)

\(\Rightarrow abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=a+b+c-1\)

BĐT cần chứng minh trở thành:

\(a^2+b^2+c^2\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(a+b+c-1\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

28 tháng 7 2017

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)

Trừ cả 2 vế cho \(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\), ta có:

\(a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Rightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2bycz-2axcz=0\)

\(\left(a^2y^2+b^2x^2-2axby\right)+\left(a^2z^2+c^2z^2-2axcz\right)+\left(b^2z^2+c^2y^2-2bycz\right)=0\)

\(\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(az-cx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\\bz=cy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

=> đpcm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 5 2021

Lời giải:

Đặt $\frac{x}{a}=m; \frac{y}{b}=n; \frac{z}{c}=p$ với $m,n,p>0$.

BĐT cần chứng minh tương đương với:

(m^2a+n^2b+p^2c)(a+b+c)\geq (am+bn+cp)^2$

$\Leftrightarrow m^2(ab+ac)+n^2(ba+bc)+p^2(ca+cb)\geq 2abmn+2amcp+2bncp$

$\Leftrightarrow ab(m^2-2mn+n^2)+bc(n^2-2np+p^2)+ca(m^2-2mp+p^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab(m-n)^2+bc(n-p)^2+ca(m-p)^2\geq 0$ 

(luôn đúng với $a,b,c>0$)

Ta có đpcm.