Cho x>y>1 và x+y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x x − 1...

Cho x>y>1 và x+y = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =...

DP

Dương Phương Linh

22 tháng 4 2017 - olm

Cho x>0; y>0 và x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=(\(1-\frac{1}{x^2}\))(\(1-\frac{1}{y^2}\))

thanks!

#Toán lớp 8

2

NN

Ngu Ngu Ngu

23 tháng 4 2017

Đơn giản biểu thức ta được:

\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}\)

\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(-x\right).\left(-y\right)}{xy}=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

\(=1+\frac{1}{xy}+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{1}{xy}+\frac{x+y}{xy}\)

\(=1+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}=1+\frac{2}{xy}\)

Ta bắt đầu tìm \(MIN:\)

Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge1+2\div\frac{1}{4}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(MIN_B=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Đúng(0)

NN

Ngu Ngu Ngu

1 tháng 5 2017

Tìm \(MAX\) cho bạn luôn:

Ta đặt: \(x=\sin^2\alpha;y=\cos^2\alpha\left(ĐK:a\ne\frac{\pi}{4}+k\pi\right)\)

Ta có: \(B=\left(1-\frac{1}{\sin^4\alpha}\right)\left(1-\frac{1}{\cos^4\alpha}\right)\)

\(=\frac{\left(\sin^2\alpha-1\right)\left(\sin^2\alpha+1\right)\left(\cos^2\alpha-1\right)\left(\cos^2\alpha+1\right)}{\sin^4\alpha.\cos^4\alpha}\)

\(=\frac{\left(\sin^2\alpha.\cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha+1\right)\left(\cos^2\alpha+1\right)}{\sin^4\alpha.\cos^4a}\)

\(=\frac{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha+2}{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}=1+\frac{2}{\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}=1+\frac{8}{\sin^22\alpha}\)

Để \(B_{max}\Leftrightarrow\sin^22a\) nhỏ nhất \(\Rightarrow\cos^22\alpha\) tiến lên 1

\(\Rightarrow\alpha\) tiến đến 0 hoặc \(\pi\Rightarrow x\) hoặc \(y\) tiến đến 0

Vậy không tìm được \(B_{max}\)

Đúng(0)

肖赵战颖

14 tháng 1 2021 - olm

Cho x, y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\)

#Toán lớp 8

2

NQ

Ngô Quý Phong

14 tháng 1 2021

tao chơi hayyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy tao đó

Đúng(0)

EC

Edogawa Conan

14 tháng 1 2021

Áp dụng bđt: a² + b² > = (a + b)²/2

Cm đúng <=> 2a² + 2b² - a² - 2ab - b² > = 0

<=> (a - b)²> = 0 (luôn đúng với mọi a,b

Khi đó, ta có: A = \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

Áp dụng bđt: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

CM đúng <=> (a + b)² > = 4ab

<=> (a - b)² > = 0 (luôn đúng với mọi a,b)

Ta lại có: A \(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=18\)

Dấu"=" xảy ra <=> x = y = 1/2

Vậy minA = 18/ <=> x = y = 1/2

Đúng(0)

HM

Hà Minh Hiếu

22 tháng 8 2017 - olm

Cho x,y > 0 , x+y=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

#Toán lớp 8

1

DD

Đinh Đức Hùng

22 tháng 8 2017

Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng ta được :

\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

Đúng(0)

DP

Đoàn Phong

29 tháng 8 2016

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= 5x + 3y + 12/x + 16/y (với x,y>0 và x+y>=6)

#Toán lớp 8

5

VD

Võ Đông Anh Tuấn

29 tháng 8 2016

P=5x+3y+12/x+16/y
=3x+12/x+y+16/y+2(x+y)
áp dụng cosi: 3x+12/x>=2√(3.12)=12
y+16/y>=8
lại có 2(x+y)>=2.6=12
nên
P>=12+8+12=32
dấu = khi 3x=12/x và y=16/y và x+y=6
==> x=2; y=4
giá trị nhỏ nhất P=32 khi x=2; y=4

Đúng(0)

LN

Lê Nguyên Hạo

29 tháng 8 2016

Ta có: \(x+y\ge6\Rightarrow x\ge6-y\)

Vậy GTNN của x là 6 - y.

Thay 6 - y vào biểu thức đã rút gọn có:

\(A=-2y^3+42y^2-176y-96\)

Giả sử y = 0, ,=> P = -232

Do y > 0 nên P > -232

Vậy: \(Min_P=-232\)

Đúng(0)

H

hung

11 tháng 7 2017 - olm

a, Cho x3+y3+3(x2+y2)+4(x+y)+4=0 và x.y>0Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: M = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)b, Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: y2 + z2 + yz = 1 - \(\frac{3}{2}x^2\)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P = x + y + zc, Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: \(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}}\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + 3y –...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

5

MT

Mai Thanh Hải

12 tháng 7 2017

a)

\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)

Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)

Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)

Ta có :

\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)

Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)

hay \(M\le-2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)

Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)

Đúng(1)

MT

Mai Thanh Hải

12 tháng 7 2017

c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )

Ta có :

\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)

\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)

\(\Rightarrow y=2-x\)

Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)

\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)

\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)

Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :

\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)

\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)

\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))

Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )

Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)

Đúng(0)

VM

Vũ Mai Anh

26 tháng 3 2018 - olm

Cho x,y là các số thỏa mãn điều kiện xy>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 8(x⁴ +y⁴ )+\(\frac{1}{xy}\) .

#Toán lớp 8

0

CM

Chi Ma Đậu

3 tháng 2 2018 - olm

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M = \(\frac{x}{\left(x+2017\right)^2}\)với x > 0

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = \(5x^2+y^2\)biết x + y = 1

#Toán lớp 8

0

NK

Nguyễn Khắc Quang

12 tháng 3 2021 - olm

Cho x, y>0 và thỏa mãn \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

#Toán lớp 8

2

LD

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉

12 tháng 3 2021

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(2P=6x+4y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\)

\(=\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)+3\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{3x\cdot\frac{12}{x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{16}{y}}+3\cdot6=12+8+18=38\)( bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 6 )

=> P ≥ 19

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}3x=\frac{12}{x}\\y=\frac{16}{y}\\x+y=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy MinP = 19

Đúng(0)

DN

Đặng Ngọc Quỳnh

12 tháng 3 2021

Ta có: \(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)\)

Vì \(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}\left(x+y\right)\ge\frac{3}{2}.6=9\)

\(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=6;\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{8}{y}}=4\)

\(\Rightarrow P\ge9+6+4=19\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\\frac{y}{2}=\frac{8}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy GTNN của P là 19

Đúng(0)

VT

Văn Trọng Khôi

28 tháng 11 2018 - olm

cho\(x,y\)thỏa mãn \(x,y>0;x+y=1\)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=x^3y^5+x^5y^3\)

#Toán lớp 8

0

KQ

KHANH QUYNH MAI PHAM

2 tháng 7 2019 - olm

Cho x>0,y>0 thỏa mãn x+y \(\ge\)6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=3x+2y+\(\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

#Toán lớp 8

2

G

Girl

2 tháng 7 2019

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(P=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{8}{y}+\frac{y}{2}\right)\)

\(P=\frac{3}{2}\left(x+y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{8}{y}+\frac{y}{2}\right)\)

\(\ge\frac{3}{2}.6+2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}+2\sqrt{\frac{8}{y}.\frac{y}{2}}=9+6+4=19\)

\("="\Leftrightarrow x=2;y=4\)

Đúng(0)

DT

đỗ trọng khanh

14 tháng 7 2020

các bạn biết ronaldo là ai không ?

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP