Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Toán lớp 6? -_-
\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)
*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\ge\dfrac{9}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{9}{xy+yz+xz}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\dfrac{7}{xy+yz+zx}\)
*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
và \(\dfrac{7}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)}=21\)
\(\Rightarrow P\ge9+21=30\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề về so sánh phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi, thi violympic. Hôm nay olm sẽ hướng dẫn em cách giải dạng này như sau.
Xét dãy số: 2; 3; 4;...; 2023
Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1
Số số hạng của dãy số trên là: (2023 - 2) : 1 + 1 = 2022
Vì \(\dfrac{3}{2^2}\) = \(\dfrac{3}{4}\) < 1 ; \(\dfrac{8}{3^2}\) = \(\dfrac{3^2-1}{3^2}\) < 1;...; \(\dfrac{2023^2-1}{2023^2}\) < 1
Vậy A là tổng của 2022 phân số mã mỗi phân số đều nhỏ hơn 1
⇒ A < 1 x 2022 = 2022 (1)
Mặt khác ta có:
A = \(\dfrac{3}{2^2}\) + \(\dfrac{8}{3^2}\) + \(\dfrac{15}{4^2}\) + \(\dfrac{2023^2-1}{2023^2}\)
A = 1 - \(\dfrac{1}{2^2}\) + 1 - \(\dfrac{1}{3^2}\) + ... + 1 - \(\dfrac{1}{2023^2}\)
A = (1 + 1 + 1+ ...+ 1) - (\(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\)+...+ \(\dfrac{1}{2023^2}\))
A = 2022 - (\(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + .... + \(\dfrac{1}{2023^2}\))
Đặt B = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + .... + \(\dfrac{1}{2023^2}\)
\(\dfrac{1}{2^2}\) < \(\dfrac{1}{1.2}\) = \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3^2}\) < \(\dfrac{1}{2.3}\) = \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{1}{4^2}\) < \(\dfrac{1}{3.4}\) = \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\)
............................
\(\dfrac{1}{2023^2}\)< \(\dfrac{1}{2022.2023}\) = \(\dfrac{1}{2022}\) - \(\dfrac{1}{2023}\)
Cộng vế với vế ta có:
B < 1 - \(\dfrac{1}{2023}\)
⇒ - B > -1 + \(\dfrac{1}{2023}\)
⇒ A = 2022 - B > 2022 - 1 + \(\dfrac{1}{2023}\) = 2021 + \(\dfrac{1}{2023}\) ⇒ A > 2021 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có:
2021 < A < 2022
Vậy A không phải là số tự nhiên (đpcm)
A = 3. \(\dfrac{1}{1.2}\) - 5. \(\dfrac{1}{2.3}\) + 7. \(\dfrac{1}{3.4}\) + ... + 15. \(\dfrac{1}{7.8}\) -17 . \(\dfrac{1}{8.9}\)
Lời giải:
Đặt \(\left(\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{matrix}\right.\)
Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn \(ab+bc+ac=1\)
Tìm min $S=a+b+c$
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c)^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}\)
Vậy \(S_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Lời giải:
Đặt \(\left(\frac{xy}{z}; \frac{yz}{x}; \frac{xz}{y}\right)=(a,b,c)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^2=ab\\ x^2=ac\\ z^2=bc\end{matrix}\right.\)
Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn \(ab+bc+ac=1\)
Tìm min $S=a+b+c$
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy: \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow S=\sqrt{(a+b+c)^2}\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}\)
Vậy \(S_{\min}=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
bài 3:
a, đặt \(\dfrac{x}{12}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{5}=k\)
=>x=12k,y=9k,z=5k
ta có: ayz=20=> 12k.9k.5k=20
=> (12.9.5)k^3=20
=>540.k^3=20
=>k^3=20/540=1/27
=>k=1/3
=>x=12.1/3=4
y=9.1/3=3
z=5.1/3=5/3
vậy x=4,y=3,z=5/3
b,ta có: \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}=\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{49}=\dfrac{z^2}{9}\)
A/D tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}=\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{49}=\dfrac{z^2}{9}=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{25+49-9}=\dfrac{585}{65}=9\)
=>x=5.9=45
y=7.9=63
z=3*9=27
vậy x=45,y=63,z=27
Ta có: \(\dfrac{x}{x+y}>\dfrac{x}{x+y+z}\)
\(\dfrac{y}{y+z}>\dfrac{y}{x+y+z}\)
\(\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{z}{x+y+z}\)
Cộng vế với vế lại ta được:
\(A>\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow A>1\) (1)
Lại có: \(\dfrac{x}{x+y}< \dfrac{x+y}{x+y+z}\)
\(\dfrac{y}{y+z}< \dfrac{y+z}{x+y+z}\)
\(\dfrac{z}{z+x}< \dfrac{z+x}{x+y+z}\)
Cộng vế với vế lại ta được:
\(A< \dfrac{x+y}{x+y+z}+\dfrac{y+z}{x+y+z}+\dfrac{z+x}{x+y+z}=\dfrac{x+y+y+z+z+x}{x+y+z}=\dfrac{2x+2y+2z}{x+y+z}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
\(\Rightarrow A< 2\) (2)
Từ (1) và (2) => 1 < A < 2
Vậy A không phải số nguyên (dpcm)
Giải:
Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3k\\y=4k\\z=5k\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(xyz=60\)
\(\Rightarrow3k.4k.5k=60\)
\(\Rightarrow k^3.60=60\)
\(\Rightarrow k^3=1\)
\(\Rightarrow k=1\)
\(\Rightarrow x=3,y=4,z=5\)
Vậy bộ số \(\left(x;y;z\right)\) là \(\left(3;4;5\right)\)
Ta có: A = \(\dfrac{x}{x+y}\) + \(\dfrac{y}{y+z}\) + \(\dfrac{z}{z+x}\)
\(\dfrac{x}{x+y+z}\) < \(\dfrac{x}{x+y}\)
\(\dfrac{y}{x+y+z}\) < \(\dfrac{y}{y+z}\)
\(\dfrac{z}{x+y+z}\) < \(\dfrac{z}{z+x}\)
Do đó \(\dfrac{x+y+z}{x+y+z}\) < A
1 < A (1)
Vì x;y;z > 0 (x;y;z nguyên dương) \(\Rightarrow\) x < x + y
xz < (x + y)z
xz + (x + y)z < (x + y)z + (x + y)x
x(x + y + z) < (x + y)(x+ z)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{x}{x+y}\) < \(\dfrac{x+z}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\dfrac{y}{y+z}\) < \(\dfrac{y+x}{x+y+z}\)
\(\dfrac{z}{z+x}\) < \(\dfrac{z+y}{x+y+z}\)
Hay A < \(\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
A < 2 (2)
Từ (1) và (2) nên 1 < A < 2.
Vì 1 và 2 là hai số tự nhiên liên tiếp nên A không phải là số nguyên.
Ta có:
\(\dfrac{x}{x+y}>\dfrac{x}{x+y+z}\)
\(\dfrac{y}{z+y}>\dfrac{y}{x+y+z}\)
\(\dfrac{z}{x+z}>\dfrac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)\(\Rightarrow A>1\left(1\right)\)
Lại có
\(\dfrac{x}{x+y}< \dfrac{x+z}{x+y+z}\)
\(\dfrac{y}{z+y}< \dfrac{y+z}{x+y+z}\)
\(\dfrac{z}{x+z}< \dfrac{z+y}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}< \dfrac{2\left(x+y+x\right)}{x+y+z}=2\)\(\Rightarrow A< 2\left(2\right)\)
Lời giải:
Ta có :
\(B=\left(1-\frac{z}{x}\right)\left(1-\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\)
\(B=\frac{(x-z)(y-x)(z+y)}{xyz}\)
Vì \(x-y-z=0\Rightarrow x=y+z\). Do đó:
\(B=\frac{(y+z-z)[y-(y+z)](z+y)}{yz(y+z)}\)
\(B=\frac{y(-z)(z+y)}{yz(y+z)}=\frac{-yz(y+z)}{yz(y+z)}=-1\)
Có `xyz=2023=>2023=xyz`
Thay vào ta có :
\(\dfrac{xyz\cdot x}{xy+xyz\cdot x+xyz}+\dfrac{y}{yz+y+xyz}+\dfrac{z}{xz+z+1}=1\\ \dfrac{x^2yz}{xy\left(1+xz+z\right)}+\dfrac{y}{y\left(z+1+xz\right)}+\dfrac{z}{xz+z+1}=1\\ \dfrac{xz}{1+xz+z}+\dfrac{1}{z+1+xz}+\dfrac{z}{xz+z+1}=1\\ \dfrac{xz+1+z}{1+xz+z}=1\left(dpcm\right)\)