Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)
Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
Xét \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(x+y+z\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}\)
Vì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\) ( đpcm )
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
Đề bài sai
Phản ví dụ: với \(x=y=z=2\Rightarrow x^2+y^2+z^2=12>9\) (thỏa mãn điều kiện)
Nhưng \(\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}=\frac{3}{2}< \sqrt{3}\)
tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:
Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)
Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)
TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)
2)Ta có:
\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)
Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)
Áp dụng svac-xơ ta có:
\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)
TỪ GT => \(3\le xy+yz+zx\)
=> \(P\ge\frac{x^3}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\frac{y^3}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}+\frac{z^3}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}\)
=> \(P\ge\frac{x^3}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\frac{y^3}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z^3}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ SẼ ĐƯỢC:
=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}.\sqrt{y+z}\le\frac{x+2y+z}{2}\\\sqrt{z+x}.\sqrt{z+y}\le\frac{x+y+2z}{2}\\\sqrt{x+y}.\sqrt{x+z}\le\frac{2x+y+z}{2}\end{cases}}\)
=> \(P\ge\frac{2x^3}{x+2y+z}+\frac{2y^3}{x+y+2z}+\frac{2z^3}{2x+y+z}\)
=> \(P\ge\frac{2x^4}{x^2+2xy+2xz}+\frac{2y^4}{xy+y^2+2yz}+\frac{2z^4}{2xz+yz+z^2}\)
TA TIẾP TỤC ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ SẼ ĐƯỢC:
=> \(P\ge\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
TA CÓ 1 BĐT SAU: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\) (*)
=> \(P\ge\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
=> \(P\ge\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
TA LẠI 1 LẦN NỮA SỬ DỤNG BĐT (*) SẼ ĐƯỢC:
=> \(P\ge\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3}{2}\left(gt\right)\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=y=z\)
VẬY P MIN \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Ta có :
\(P\ge\frac{x^3}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\frac{y^3}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}+\frac{z^3}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}\)
\(=\frac{x^3}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{y^3}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z^3}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^3}{x+2y+z}+\frac{2y^3}{x+y+2z}+\frac{2z^3}{2x+y+z}\)\(\ge2.\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+3.\left(xy+yz+zx\right)}\ge2.\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{4.\left(xy+yz+zx\right)}\ge2.\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3yz}}+\frac{y^2}{\sqrt[3]{y^3xz}}+\frac{z^2}{\sqrt[3]{z^3xy}}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT : AM - GM :
\(\sqrt[3]{x^3yz}\le\frac{x^2+xyz+1}{3};\sqrt[3]{y^3xz}\le\frac{y^2+xyz+1}{3};\sqrt[3]{z^3xy}\le\frac{z^2+xyz+1}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\le\frac{x^2+y^2+z^2+3xyz+3}{3}=2+xyz\)
Theo BĐT AM - GM :
\(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\le3\Leftrightarrow xyz\le1\)
Do đó : \(\sqrt[3]{x^3yz}+\sqrt[3]{y^3xz}+\sqrt[3]{z^3xy}\le3\left(2\right)\)
Tư (1) , (2) và sử dụng hệ quả :
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx:\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}{3}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{3}\)\(=xy+yz+xz\)
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Dễ dàng chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)
Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)
Chứng mih tương tự, ta được;
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)
Từ (3), (4), (5), ta được:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:
\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)
Từ (2) và (6), ta được:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)