Question

[Hồ Nhất Thiên]

Cho tứ giác lồi ABCD, AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AC,BD,EF. Chứng minh: I,J,K thẳng hàng

Answer 1

[Phạm Nguyên Khang]

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BF,AF,AB 

Áp dụng tính chất đường trung bình suy ra được:

K,N,M thẳng hàng (//BE)

J,P,M thẳng hàng (//FD)

I,P,N thẳng hàng (//CF)

Áp dụng định lý Menalaus vào ∆MNP với các điểm I,J,K lần lượt thuộc phần kéo dài của các cạnh PN,PM,MN cho thấy:Khi và chỉ khi KN/KM×JM/JP×IP/IN=1 (*) thì suy ra đpcm.

Thật vậy:

KN/KM=AE/EB (1)

JM/JP=FD/AD (2)

IP/IN=BC/FC (3) (cái này là do tính chất đường trung bình đó bạn. Khi bạn biến đổi KN và KM thì lần lượt ra (1/2)×AE và (1/2)×BE. Khi lập tỉ số KN/KM thì bạn gạch bỏ 1/2 là ra AE/BE. Chứng minh tương tự với các tỉ số kia. Mình nhớ có một tính chất nói về cái này mà mình quên tên nó rồi hic.)

Áp dụng định lý Menalaus vào ∆ABF với các điểm C,D,E lần lượt thuộc phần kéo dài của các cạnh BF,AF,AB:

AE/EB×FD/AD×BC/FC=1 (4)

Từ (1),(2),(3) và (4) ==> KN/KM×JM/JP×IP/IN=1.

==>I,J,K thẳng hàng (theo định lý Menalaus trong ∆MNP với các điểm I,J,K lần lượt thuộc phần kéo dài của các cạnh PN,PM,MN).

Vậy I,J,K thẳng hàng (đpcm).