Question

[nguyễn bảo thuận]

cho tứ giác ABCD

a) CM AC+BD>1/2(AB+BC+CD+AD)

b) CM AC+BD>AB+BC+CD+AD

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

a) Gọi \(O\)là giao điểm \(AC\)và \(BD\). 

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 

\(OA+OB>AB,OB+OC>BC,OC+OD>CD,OD+OA>AD\)

Cộng lại vế theo vế ta được: 

\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)

\(\Leftrightarrow AC+BD>\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\).

b) Theo bất đẳng thức tam giác: 

\(AC< AB+BC,AC< CD+DA,BD< AB+DA,BD< BC+CD\)

Cộng lại vế theo vế ta được:

\(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\).