Question

[Incognito]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AC cắt BD tại P, M là trung điểm AD. K và L lần lượt là hình chiếu của P lên AB và CD. Gọi S,T lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác KMA và LMD. Chứng minh rằng: KS.BT=CS.LT ?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của PA và PD. 

Ta thấy: \(\Delta\)PAK vuông tại K có trung tuyến KE => KE = 1/2.AP. Mà MF là đường trung bình \(\Delta\)PAD

Nên KE = MF (=1/2AP). Tương tự: FL = ME. Ta có: ^KEM = ^MFL (= ^PFM + Sđ(BC = ^PEM + Sđ(BC )

Suy ra: \(\Delta\)KEM = \(\Delta\)MFL (c.g.c) => KM = ML (Cạnh tương ứng) 

Ta thấy: ^KML = ^EMF - ^EMK - ^FML = 180⁰ - ^PFM - ^FLM - ^FML (^EMK = ^ FLM vì \(\Delta\)KEM = \(\Delta\)MFL)

= ^PFL = 2.^PDL = 2.^PAK => ^KML = 2.^PDL = 2.^PAK

Ta lại có: ^BDT = ^BDC - ^TDL = 1/2.^KML - (90⁰ - ^DML) = 1/2.^KML - ^OML = ^OMK - 1/2.^KML

= ^OMK - ^PAK = ^SAK - ^PAK = ^CAS => ^BDT = ^CAS

Mặt khác: ^MTL = ^AOC = 2.^MDL (=Sđ(AC ) => \(\Delta\)MLT ~ \(\Delta\)ACO (g.g)

=> \(\frac{LT}{CO}=\frac{ML}{AC}\)=> LT. AC = ML.CO = MK.BO (Do ML = MK). Tương tự \(\Delta\)KSM ~ \(\Delta\)BOD

Từ đó; LT.AC = MK.BO = KS.BD => DT.AC = AS.DB => \(\frac{DT}{AS}=\frac{DB}{AC}\). Kết hợp với ^BDT = ^CAS (cmt)

=> \(\Delta\)CSA ~ \(\Delta\)BTD (c.g.c) => \(\frac{CS}{BT}=\frac{SA}{TD}=\frac{KS}{LT}\)=> KS.BT = CS.LT (đpcm).