Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án A
Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều.
B1: Xác định hai trục của hai mặt phẳng bất kì (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).
B2: Xác định giao điểm I của hai trục đó. Khi đó I là tâm mặt cầu cần tìm.
Cách giải: Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và ACD thì D O ⊥ A B C ; B O ' ⊥ A C D
Gọi I = D O ∩ B O ' , ta dễ dạng chứng minh được I là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.
Và R = IF là bán kính mặt cầu đó.
Kẻ BB’ qua I và song song với BD.
Chọn A
Coi như a =1. Tam giác ACD vuông tại A nên A D = C D 2 - A C 2 = 1 = A B ⇒ Δ A B D cân tại A và tam giác ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD và DC. Ta có A H ⊥ ( B C D ) và C D ⊥ A E . Hơn nữa C D ⊥ A H ⇒ C D ⊥ ( A H E ) ⇒ C D ⊥ H E mà HE song song với BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ta có A I . A H = A E 2 ⇒ A I = A E 2 A H . Ta có
A E = 1 2 C D = 2 2 , H K = 1 2 B C = 1 2 ⇒ A H = 1 2
Vậy A I = A E 2 A H = 1 ⇒ R = 1 ⇒ V m c = 4 3 π
Đáp án D
Với tứ diện đều ABCD thì mặt cầu (S) là mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và là trọng tâm của tứ diện đều cạnh a, đồng thời có bán kính R = a 2 4
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ⇒ G A ¯ + G B ¯ + G C ¯ + G D ¯ = 0 ¯
Ta có:
T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = M G ¯ + G A ¯ 2 + M G ¯ + G B ¯ 2 + M G ¯ + G C ¯ 2 + M G ¯ + G D ¯ 2
= 4 M G 2 + 2 M G ¯ G A ¯ + G B ¯ + G C ¯ + G D ¯ ⏟ 0 + G A 2 + G B 2 + G C 2 + G D 2 = 4 M G 2 + 4 G A 2
= 4 a 2 4 2 + 4 a 6 4 2 = 2 a 2 . Vậy T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = 2 a 2
Đáp án B
Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện là r = 3 V S t p = 3. 2 a 3 2 12 4. 2 a 2 3 4 = a 6 6 .
Đáp án B
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A xuống (BCD) và (ABC).
A H ∩ D K = O . Khi đó O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
Ta có: D H = 2 3 2 a 2 − a 2 = 2 a 3 ; I K = 1 2 . 2 a 3 = a 3
D K = D I 2 − I K 2 = 4 a 2 − a 2 − a 3 2 = 2 a 6 3
Ta có: Δ D O H ~ Δ D I K ⇒ O H D H = I K D K
⇒ O H = D H . I K D K ⇒ r = O H = 2 a 3 . a 3 2 a 6 3 = a 6 6
Cách 2: Ta có: cos A I H ^ = H I A I = 1 3
⇒ O H = H I tan A I H ^ 2 = 2 a 3 6 . 1 2 = a 6 6 = r
Đáp án B
Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.
Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.
Δ A C D = Δ B C D ⇒ A N = B N ⇒ Δ N A B cân tại N ⇒ M N ⊥ A B
Tương tụ ta có M N ⊥ C D .
Ta có: P Q = R S = M N = A N 2 − A M 2 = a 3 2 2 − a 2 4 = a 2 2 .
Suy ra d G , A B = d G , C D = 1 2 M N = a 2 4 .
Chứng minh tương tự ta có d G , A C = d G , A D = d G , B D = d G , B C = a 2 4
Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.
Bán kính mặt cầu R = a 2 4 . Suy ra thể tích khối cầu là V = 4 3 π R 3 = 4 3 π a 2 4 3 = 2 π a 3 24 .