Question

[nguyen thi khanh nguyen]

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và góc BAC = góc BAD =\(60^0\)

CMR:a)\(AB\perp CD\)

b)M,N là trung điểm của AB,CD. C/M: \(MN\perp AB,MN\perp CD\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt \(AB=AC=AD=x\)

Do \(\widehat{BAC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow BC=x\)

Tương tự tam giác ABD đều \(\Rightarrow BD=x\)

\(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD)

Do \(AB=AC=AD\Rightarrow HA=HB=HC\)

\(\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Mà BCD cân tại B \(\Rightarrow BH\perp CD\Rightarrow CD\perp\left(AHB\right)\Rightarrow CD\perp AB\)

b/Từ câu a, do N là trung điểm CD nên N là giao điểm của BH và CD

\(\Rightarrow MN\in\left(ABH\right)\Rightarrow CD\perp MN\)

Lại có: \(\Delta DBC=\Delta DAC\) (c.c.c)

\(\Rightarrow BN=AN\)

\(\Rightarrow\Delta ABN\) cân tại N \(\Rightarrow MN\perp AB\) (trong tam giác cân trung tuyến là đường cao)