Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có:
b) Từ câu a) ta dự đoán 
(1), với mọi n ε N* .
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Khi n = 1, vế trái là 
, vế phải bằng 
. Vậy đẳng thức (1) đúng.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nh=ghĩa là phải chứng minh
Ta có 
= 
tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
Lời giải:
Tổng của $n$ số hạng trong dãy là cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ là:
$S_n=u_1+u_2+....+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+...+u_1q^{n-1}$
$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$
$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)$
$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)-u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$
$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$
$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$
Ta có đpcm.
Lời giải:
Xét csn $(u_n)$ với công bội $q$
Ta có:
$S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+....+u_1q^{n-1}$
$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$
$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+....+q^n)$
$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q^n-1)$
$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$
$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$
Ta có đpcm.
b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1 và q = - .
Vậy S = -1 + -
+ ... +
+ ... =
=
=
.
Các số hạng lập thành một số nhân với \(u_1=-1\) và \(q=-\dfrac{1}{10}\).
Vậy:
\(S_n=-1+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{10^2}+...+\dfrac{\left(-1\right)^n}{10^{n-1}}+...=\dfrac{u_1}{1-q_1}\)\(=\dfrac{-1}{1-\left(-\dfrac{1}{10}\right)}=\dfrac{-10}{11}\).
a) \(u_{n+3}=sin\left[4\left(n+3\right)-1\right]\dfrac{\pi}{6}=sin\left[4n+12-1\right]\dfrac{\pi}{6}\\ =sin\left[\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}+2\pi\right]=sin\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}=u_n\)
b)
\(u_1=u_4=...=u_{13}=sin\dfrac{\pi}{2}\\ u_2=u_5=...=u_{14}=sin\dfrac{7\pi}{6}\\ \\ u_3=u_6=...=u_{15}=sin\dfrac{11\pi}{6}\\ \Rightarrow u_1+u_2+...+u_{15}=5\left(sin\dfrac{\pi}{2}+sin\dfrac{7\pi}{6}+\dfrac{11\pi}{6}\right)=0\)
a)
\(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\)
\(S_2=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{2}{9}\).
\(S_3=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{13}\right)=\dfrac{3}{13}\).
\(S_4=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+\dfrac{1}{13.17}\)\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{17}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{17}\right)=\dfrac{4}{17}\).
b) Dự đoán công thức : \(S_n=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4n+1}\right)\).
Chứng minh bằng quay nạp:
Với \(n=1\): \(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\).
Vậy giả thiết quy nạp đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\): \(S_{k+1}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+\dfrac{1}{\left[4\left(k+1\right)-3\right].\left[4\left(k+1\right)+1\right]}\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4\left(k+1\right)-3}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4k+1}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.