Question

[Nguyễn văn công]

Cho tam giác nhọn ABC có AD,BE là hai đường cao cắt nhau tại H.

a)Cho biết\(\widehat{ABC}\)>\(\widehat{ACB}\).Chứng minh rằng HC>HB

b)Vẽ \(HF\perp AB\)tại F.Chứng minh rằng ba điểm C,H,F thẳng hàng

c)Chứng minh rằng AB+AC>2AD

d)Chứng minh \(HA+HB+HC< \frac{2}{3}\left(AB+AC+BC\right)\)

                                    GIÚP MÌNH VỚI!MÌNH ĐAG CẦN GẤP!

Answer 1

[tth_new]

Gộp a) + b) lại cho dễ làm:

Xét hai tam giác ABE và tam giác ACF:

Ta thấy rằng: \(\widehat{BEA}=\widehat{CFA}\)

Mà: \(\widehat{BEA}+\widehat{BAC}+\widehat{ABE}=180^o\Rightarrow\widehat{ABE}=180^o-\widehat{BEA}-\widehat{BAC}\) (tổng ba góc trong tam giác)

\(\widehat{CFA}+\widehat{BAC}+\widehat{ACF}=180^o\Rightarrow\widehat{ACF}=180^o-\widehat{CFA}-\widehat{BAC}=180^o-\widehat{BEA}-\widehat{BAC}=\widehat{ABE}\)

Từ đây,ta có: \(\widehat{ACF}=\widehat{ABE}\).Từ đây kết hợp giả thiết góc ABC > góc ACB suy ra:  \(\widehat{ABC}-\widehat{ABE}>\widehat{ACB}-\widehat{ACF}\)

Hay góc EBC > góc FCB . Đầu tiên,ta dễ c/m B,H,E thẳng hàng ,do BE là đường cao xuất phát từ đỉnh B.Lại thấy rằng H là giao điểm của 2 đường cao nên đường cao còn lại cũng đi qua nó.Do vậy H là trực tâm)Ta sẽ c/m C,H, F thẳng hàng để suy ra EBC = HBC > FCB = HCB tức là góc HBC > góc HCB.Để từ đó theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BHC ta suy ra HC > HB

(mai mình hướng dẫn tiếp,buồn ngủ quá!)

Answer 2

[tth_new]

Chứng minh tiếp từ chỗ c/m C, H, F thẳng hàng nhé: (không chắc lắm đâu,mình dốt hình)

Ta có: H là giao điểm của hai đường cao  nên đường cao còn lại cũng đi qua H hay H là trực tâm.

Lại có: CH là đoạn thẳng xuất phát từ C đến trực tâm H nên thuộc đường cao xuất phát từ C. (1)

HF là đoạn thẳng hạ từ trực tâm H vuông góc với AB nên thuộc đường cao xuất phát từ C  (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, H, F thẳng hàng   (3)

Từ đây suy ra \(\widehat{EBC}=\widehat{HBC}>\widehat{FCB}=\widehat{HCB}\)

Hay \(\widehat{HBC}>\widehat{HCB}\) vậy theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BHC ta suy ra HC > HB

b) Theo kết quả của (3) (ở câu a) ta có C, H, F thẳng hàng.

c)Theo giả thiết ở câu a) ta có: \(\widehat{ABC}>\widehat{ACB}\).Theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện của tam giác ABC suy ra AC > AB

Suy ra  AC + AB > AB + AB = 2AB (4).

Lại có: Tam giác ABD vuông tại D (giả thiết AD là đường cao hạ từ A vuông góc với BC). Do đó AB là cạnh lớn nhất.

Suy ra AB > AD suy ra 2AB > 2AD (5)

Từ (4) và (5) kết hợp lại,ta có: AC + AB > 2AB > 2AD tức là AC + AB > 2AD.

d) Đang suy nghĩ...