Question

[Nguyen Thi Tai Hoa]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi DE là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC.

    a) Tứ giác ADME là hình gì ?

    b) Gọi F,H là đường trung điểm của BM và CM. Chứng minh tứ giác FDEH là hình thang.

Answer 1

[Nguyễn Trần Tuyết Liên]

a) Xét tứ giác ADME, có:
* góc MDA = 90 độ (D là chân đường vuông góc)
* góc DAE = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A)
* góc MEA = 90 độ (E là chân đường vuông góc)
=> ADME là hình chữ nhật 

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:
*AM là trung tuyến (gt)
=> AM = MC = MC (hệ quả)
=> tam giác BMA cân tại M 
Mà MD là đường cao ( D là chân đường vuông góc)
=> MD cũng là đường trung tuyến 
=> HE cũng là đường trung tuyến (chứng minh tương tự với tam giác MAC cân tại M)

Xét tam giác BAM có:
* F là trung điểm BM (gt)
* D là trung điểm BA (MD là đường trung tuyến, cmt)
=> FD là đường trung bình 
=> FD // AM (2)
=> HE // AM (chứng minh tương tự với tam giác MAC) (1)

Từ (1), (2) => DF // HE ( // AM)
=> Tứ giác FDEH là hình thang.