Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Đặt AB=AC=a (không đổi); BD=AE=b (0<x<a)
Áp dụng định lý Pi-ta go với \(\Delta ADE\) vuông tại A ta có:
\(DE^2=AD^2+AE^2=\left(a-x\right)^2+a^2=2x^2-2ax+a^2\)\(=2\left(x^2-ax\right)-a^2\)
\(=2\left(x-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}\ge\frac{a^2}{2}\)
Ta có DE nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\)\(DE^2\) nhỏ nhất\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)
\(\Leftrightarrow BD=AE=\frac{a}{2}\Leftrightarrow D,E\) là trung điểm của AB;AC.
Vậy D;E phải là trung điểm của AB;AC thì DE có độ dài nhỏ nhất.
b)
Ta có:\(S_{ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE=\frac{1}{2}.AD.BD\)\(=\frac{1}{2}AD\left(AB-AD\right)=\frac{1}{2}\left(AD^2-AB.AD\right)\)
\(=-\frac{1}{2}\left(AD^2-2\frac{AB}{2}.AD+\frac{AB^2}{4}\right)+\frac{AB^2}{8}\)\(=-\frac{1}{2}\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2+\frac{AB}{2}\le\frac{AB^2}{8}\)
Vậy \(S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}\ge\frac{AB^2}{2}-\frac{AB^2}{8}=\frac{3}{8}AB^2\) không đổi.
Do đó: \(min_{S_{BDEC}}=\frac{3}{8}AB^2\) khi D;E lần lượt là trung điểm của AB;AC.
a) Sửa đề: DE nhỏ nhất
Đặt AB=AC=a(không đổi), BD=AE=x(0<x<a)
Ta có: AB=AD+DB(do D∈AB)
⇔AD=AB-BD hay AD=a-x
Áp dụng định lí pytago vào ΔADE vuông tại A, ta được
\(DE^2=AD^2+AE^2\)
hay \(DE^2=\left(a-x\right)^2+x^2=a^2-2ax+x^2+x^2=2x^2-2ax+a^2=2\left(x^2-ax\right)+a^2\)
\(=2\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}\)
Ta có: \(\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2\ge0\forall x,a\)
\(\Rightarrow2\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2\ge0\forall x,a\)
\(\Rightarrow2\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}\ge\frac{a^2}{4}\forall x,a\)
Muốn DE nhỏ nhất thì DE2 phải nhỏ nhất
hay \(2\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}\)
⇔\(2\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}\)
⇔\(2\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2=0\)
⇔\(\left(x^2-\frac{a^2}{4}\right)^2=0\)
⇔\(x^2-\frac{a^2}{4}=0\)
⇔\(\frac{a^2}{4}=x\)
⇔\(a^2=4x\)
⇔\(a=\frac{4}{2}x=2x\)
⇔\(x=\frac{a}{2}\)
hay \(BD=\frac{AB}{2}\)
và \(AE=\frac{AC}{2}\)
Ta có: \(BD=\frac{AB}{2}\)(cmt)
⇔D là trung điểm của AB
Ta có: \(AE=\frac{AC}{2}\)(cmt)
⇔E là trung điểm của AC
Vậy: Khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC thì DE có độ dài nhỏ nhất
b)Ta có: ΔADE vuông tại A(do \(\widehat{DAE}\)=90 độ)
⇒\(S_{ADE}=\frac{AD\cdot AE}{2}\)
⇒\(S_{ADE}=\frac{AD\cdot BD}{2}=\frac{AD\left(AB-AD\right)}{2}=\frac{AD^2-AB\cdot AD}{2}\)
⇒\(S_{ADE}=-\frac{1}{2}\left(AD^2-2\frac{AB}{2}\cdot AD+\frac{AB^2}{4}\right)+\frac{AB^2}{8}=-\frac{1}{2}\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2+\frac{AB^2}{8}\)
Ta có: \(\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2+\frac{AB^2}{8}\le\frac{AB^2}{8}\)
Ta lại có: \(S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}\)
\(\Rightarrow S_{BDEC}\ge\frac{AB^2}{2}-\frac{AB^2}{8}=\frac{4AB^2}{8}-\frac{AB^2}{8}=\frac{3AB^2}{8}\)
Để diện tích của tứ giác BDEC nhỏ nhất thì \(S_{BDEC}=\frac{3AB^2}{8}\)
hay D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
Vậy: khi D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC thì diện tích của tứ giác BDEC là nhỏ nhất
a)DE có độ dài nhỏ nhất. (sửa đề)
Đặt $AB=AC=a$ không đổi ;$AE=BD=x(0<x<a)$
Áp dụng định lý Pitago với tam giác $ADE$ vuông tại $A$ có:
\(DE^2= AD^2+AE^2=(a-x)^2+x^2\)
\(=2x^2-2ax+a^2\\ =2(x^2-ax)-a^2\\ =2(x-\dfrac{a^2}{4})^2+\dfrac{a^2}{2}\ge \dfrac{a^2}{2}\)
Ta có DE nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) \(DE\)\(^2\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) \(x=\)\(\dfrac{a}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(BD=AE=\)\(\dfrac{a}{2}\)
\(\Leftrightarrow\) D,E là trung điểm của AB,AC .
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất .
Ta có : S\(_{ADE}\)=\(\dfrac{1}{2}\) AD.AE
=\(\dfrac{1}{2}\)AD.BD
=\(\dfrac{1}{2}\)AD(AB-AD)
=\(\dfrac{1}{2}\)(AD\(^2\)-AB.AD)
=-\(\dfrac{1}{2}\)(AD\(^2\)-2\(\dfrac{AB}{2}\) .AD+\(\dfrac{AB^2}{4}\))+\(\dfrac{AB^2}{8}\)
=-\(\dfrac{1}{2}\) (AD-\(\dfrac{AB}{4}\) )\(^2\) +\(\dfrac{AB^2}{2}\) \(\le\) \(\dfrac{AB^2}{8}\)
Vậy S\(_{BDEC}\)=S\(_{ABC}\)-S\(_{ADE}\) \(\ge\)\(\dfrac{AB^2}{2}\) -\(\dfrac{AB^2}{8}\)= \(\dfrac{3}{8}AB^2\) không đổi
Do đó min S\(_{BDEC}\) = \(\dfrac{3}{8}AB^2\) KHI D,E lần lượt là trung điểm AB,AC