Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BN}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN})$
$=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$
$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}.\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
$=\frac{21}{20}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}AC^2-\frac{1}{5}AB^2$
$=\frac{21}{20}\cos A.|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|-\frac{1}{4}AC^2-\frac{1}{5}AB^2$
$=\frac{21}{20}.\frac{1}{2}.5.8-\frac{1}{4}.8^2-\frac{1}{5}.5^2=0$
$\Rightarrow CM\perp BN$
1.
\(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CA}\)
\(\Rightarrow\) I là 1 đỉnh của hình bình hành ABIC
2.
Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}\)
\(\Rightarrow\) M là 1 đỉnh của hình bình hành ANCM
a) Ta có:
+) \(\overrightarrow {MB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng; tỉ số độ dài \(\dfrac{{BC}}{{MB}} = 2\)
\( \Rightarrow M\) nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho \(MB = \dfrac{1}{2}BC\)
+) \({\overrightarrow {AN} = 3\overrightarrow {NB} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = 3\overrightarrow {NB} \Rightarrow 4\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {NB} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} }\)
\( \Rightarrow N\) thuộc đoạn thẳng AB và \(NB=\dfrac{{1}}{{4}} AB\)
+) \(\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {PA} \Leftrightarrow \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PA} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow P\) là trung điểm của CA
b) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \\= \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}\)
c) Ta có:
\(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} ;\) \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MP} = 2\overrightarrow {MN} \)
Vậy \(M,N,P\) thẳng hàng
Nguyễn Việt Lâm Akai Haruma giúp e vs ah. thanksssss mnn :>>
Tham khảo:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)
Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC\)
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \)
Với mọi điểm O, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} ;\;\\\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} ;\;\,\\\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)
Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).
Tham khảo cách 2 câu a:
Cách 2:
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} } \right) + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \end{array}\)
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.
Khi đó: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CD} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CO} \)
Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.
Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.