Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vì các đoạn thẳng trong bài hiển nhiên phải dương nên
áp dụng BĐT cauchy cho 3 số thực dương:
\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}}}\)(1)
xét tích \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}=\left(\frac{AP}{OP}-1\right)\left(\frac{BQ}{OQ}-1\right)\left(\frac{CR}{OR}-1\right)\)(2)
áp dụng hệ quả định lý tales:OK//AH(cùng vuông góc với BC)
\(\rightarrow\frac{AP}{OP}=\frac{AH}{OK}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)(2 tam giác chung cạnh đáy)
làm tương tự :\(\frac{BQ}{OQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}\);\(\frac{CR}{OR}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)
thế vào (2): \(\left(\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}-1\right)=\frac{\left(S_{AOB}+S_{AOC}\right)\left(S_{AOB}+S_{BOC}\right)\left(S_{AOC}+S_{BOC}\right)}{S_{AOB}.S_{BOC}.S_{AOC}}\)
để biểu thực gọn hơn ta đặt \(\left\{\begin{matrix}S_{AOB}=x\\S_{AOC}=y\\S_{BOC}=z\end{matrix}\right.\),biểu thức trở thành
\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:\(\left\{\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)(3)
từ (1),(2) và (3):\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{8}}=3\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}\right)^3}=3\sqrt{2}\)
dấu = xảy ra khi:\(\left\{\begin{matrix}\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}=\frac{OC}{OR}\\S_{AOB}=S_{BOC}=S_{COA}\end{matrix}\right.\)chứng tỏ O là trọng tâm của tam giác ABC
Đặt \(S_{AOC}=x^2;S_{BOC}=y^2;S_{AOB}=z^2\) \(\left(x,y,z>0\right)\)
* Ta thấy tam giác AOB và BOP có chung đường cao kẻ từ B
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{OA}{OP}\). Tương tự \(\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{OA}{OP}\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{S_{AOB}}{S_{BOP}}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{COP}}=\dfrac{S_{AOB}+S_{AOC}}{S_{BOP}+S_{COP}}=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}\)
Tương tự \(\dfrac{OB}{OQ}=\dfrac{y^2+z^2}{x^2};\dfrac{OC}{OR}=\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\)
* Áp dụng BĐT cau-chy ta có
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2z^2}{y^4}}=\dfrac{2xz}{y^2}\) .
Tương tự \(\dfrac{y^2+z^2}{x^2}\ge\dfrac{2yz}{x^2}\) ; \(\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge\dfrac{2xy}{z^2}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x^2+z^2}{y^2}.\dfrac{y^2+z^2}{x^2}.\dfrac{x^2+y^2}{z^2}\ge8\)
\(\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OB}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{A}}=3\sqrt{2}\) - đpcm
a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)
Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC