Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
ΔBFC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBFC vuông tại F
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
Xét ΔABC có
BE,CF là đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: AH vuông góc với BC tại D
b:
Xét tứ giác CDFA có góc CDA=góc CFA=90 độ
nên CDFA là tứ giác nội tiếp
=>góc BFD=góc BCA
Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>góc AFE=góc ACB
Ta có: góc COE=180 độ-2 góc C
góc EFD=180 độ-góc AFE-góc BFD
=180 độ-2 góc C
=>góc COE=góc EFD
=>DOEF là tứ giác nội tiếp
a) Chứng minh AI BC
Ta có ∠BEC = BDC = 90 0 (hai góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn)
1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~
Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)
Ta lại có: \(BD\perp HK\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)
\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)
Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))
Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)
\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)
(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )
Bổ đề 1: Xét tam giác nhọn ABC, trên cạnh AB,AC lần lượt lấy D,E sao cho BD = CE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DE,BC. Khi đó MN song song với đường phân giác trong của ^BAC.
Bổ đề 2: [Đường thẳng Gauss] Xét tứ giác lồi ABCD. AB giao CD tại X, AD giao BC tại Y. Gọi H,I,K thứ tự là trung điểm các đoạn AC,BD,XY. Khi đó H,I,K thẳng hàng.
Hai bổ đề trên khá quen thuộc, không trình bày ở đây.
Quay trở lại bài toán: Gọi V,J,L thứ tự là trung điểm của AI,DE,BC. Gọi JL cắt PQ tại R.
Dễ thấy V,J,L,R nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác AEID. Áp dụng bổ đề 1 ta thu được:
VR // AK. Mà V là trung điểm AI nên R là trung điểm IK (*)
Mặt khác ta thấy P,I,Q thẳng hàng, gọi PQ cắt (BID),(CIE) lần lượt tại S,T (S,T khác I), SB cắt TC tại F, Fx là phân giác ^BFC.
Ta có hai tam giác DIB,EIC có BD = CE, ^BID = ^EIC => (BID) = (EIC)
Theo tính chất của tâm nội tiếp thì SD = SP = SB, TE = TQ = TC. Từ đây SB = TC
Ta lại có biến đổi góc sau ^BFx = 1/2.^BFC = 900 - BDI/2 - ^CEI/2 = ^ADI/2 + ^AEI/2 - 900
= 1800 - ^DAE/2 - ^DIE/2 - 900 = ^EIT - ^DAE/2 = ^SBD - ^DAE/2 (= Góc hợp bởi AK và SB)
=> Fx // AK. Mà AK // RL nên Fx // RL. Áp dụng bổ đề 1 (với SB = TC) ta được R là trung điểm ST
Suy ra RS = RT => RP + SP = RQ + TQ => RP = RQ (Do SP = TQ) => R là trung điểm PQ (**)
Từ (*) và (**) suy ra KP = IQ. Như vậy KP + IK = IQ + IK => IP = QK (đpcm).