Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{ax}\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{by}\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{cz}\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\le\sqrt{\left(ax+by+cz\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{2S_{ABC}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{abc}{2R}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{2R}}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{AM}{A_1M}}+\sqrt{\frac{BM}{B_1M}}+\sqrt{\frac{CM}{C_1M}}=\sqrt{\frac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\frac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\frac{S_1+S_2}{S_3}}\)
\(\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_1}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}\right)^2}{2S_2}}+\sqrt{\frac{\left(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}\right)^2}{2S_3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_1}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S_2}}+\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_3}}\right)\frac{1}{2}\cdot6=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi S1 =S2=S3 <=> M là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Gọi a là độ dài cạnh của tam giác ABC
+ Ta có : \(S_{AMB}+S_{BMC}+S_{AMC}=S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\cdot x\cdot a+\frac{1}{2}\cdot y\cdot a+\frac{1}{2}\cdot z\cdot a=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}a\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}a\cdot h\)
\(\Rightarrow x+y+z=h\) ( do \(\frac{1}{2}a\ne0\) )
+ \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}h^2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
<=> M là giao điểm 3 đg phân giác của tam giác ABC