Question

[Nguyễn Huệ Lam]

Cho tam giác ABC (AB<AC<BC). Dựng về phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABEF, ACMN, BCPQ. Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm các hình vuông. 

Chứng minh \(O_1O_2=AO_3\)

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

hình = link 

Gọi O₁, O₂, O₃ lần lượt là tâm các hình vuông dựng từ cách cạnh AB, AC, BC

Ta thấy \(\Delta ACP=\Delta MCB\)(c-g-c) do AC=MC, gócACP=gócMCB, CP=BC => AP = BM 

Gọi I, H lần lượt là giao điểm của BM với AP, AC

Xét 2 tam giác AIH và MCH có: góc AHI=góc MHC(đối đỉnh), góc IAH=góc CMH (do gócPAC=gócBMC) 

=> \(\Delta AIH~\Delta MCH\) => \(\widehat{AIH}=\widehat{MCH}=90^0\) => AP vuông góc BM 

Gọi D là trung điểm của AB, ta có: 

Tam giác ABP có: DA=DB, O₃B=O₃P => DO₃ là đường trung bình => DO₃//AP và DO₃=AP/2 (1) 

Tam giác BAM có: DA=DB, O₂A=O₂M => DO₂ là đường trung bình => DO₂//BM và DO₂=BM/2 (2) 

(1) và (2) suy ra: DO₃ vuông góc DO₂ và DO₃=DO₂ (do AP vuông góc BM và AP=BM)

Dễ dàng thấy: tam giác DO₁A = tam giác DO₁B(c-c-c) => \(\widehat{ADO_1}=\widehat{BDO_1}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

Có: \(\widehat{ADO_1}=\widehat{O_2DO_3}\)\(\left(=90^0\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{ADO_1}+\widehat{ADO_2}=\widehat{O_2DO_3}+\widehat{ADO_2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{O_1DO_2}=\widehat{ADO_3}\)

Tam giác vuông DO₁A có góc \(\widehat{AO_1D}=180^0-\left(\widehat{ADO_1}+\widehat{DAO_1}\right)=180^0-\left(90^0+45^0\right)=45^0\)

=> tam giác DO₁A vuông cân tại D => DO₁=DA 

Xét 2 tam giác O₁DO₂ và ADO₃ có: góc O₁DO₂ = góc ADO₃(CM trên), DO₁=DA(CM trên), DO₂=DO₃(đã CM ở đầu bài) 

=> \(\Delta O_1DO_2=\Delta ADO_3\left(c-g-c\right)\) => \(O_1O_2=AO_3\)