Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
\(x^3-2mx^2+2x^2-8x+8m-16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+2x^2-8x-16\right)+m\left(-2x^2+8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-8\right)-2m\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left[x^2-8-2m\left(x-2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2mx+4m-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x^2-2mx+4m-8=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác -2
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-2\right)^2+4m+4m-8=0\\\Delta'=m^2-4m+8>0\end{matrix}\right.\) (luôn thỏa mãn)
Vậy pt có 3 nghiệm pb với mọi m
b/ Do vai trò của \(x_1;x_2;x_3\) hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x_1=-2\) và \(x_2;x_3\) là 2 nghiệm của (1)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2+x_3=2m\\x_2x_3=4m-8\end{matrix}\right.\) (2)
\(\left(-2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-2x_2x_3=5\left(-2+x_2+x_3\right)-4\) (3)
Thế (2) vào (3) là xong
Với \(m\ne-1\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-1\right)\left(m+5\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-1-m^2-6m-5\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+5m+6\right)< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\-2< m< 1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m^2+4m-5\)
Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_2>x_1>2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x_1+x_2}{2}-2>0\\a.f\left(2\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{m-1}{m+1}-2>0\\\left(m+1\right)\left[4\left(m+1\right)-4\left(m-1\right)+m^2+4m-5\right]>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{-m-3}{m+1}>0\\\left(m+1\right)\left(m^2+4m+3\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3< m< -1\\\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m\ne-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-3< m< -1\)
Kết hợp điều kiện delta \(\Rightarrow-2< m< -1\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm :
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S< 0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)^2-9>0\left(1\right)\\\dfrac{-2\left(m^2-1\right)}{9.2}< 0\left(2\right)\\\dfrac{1}{9}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)^2>9\\m^2-1>0\end{matrix}\right.\)
Với \(m>2\) thì \(\left(m^2-1\right)^2-9>\left(2^2-1\right)^2-9=0\) nên (1) thỏa mãn.
Với \(m>2\) thì \(m^2-1>2^2-1=3>0\) nên (2) thỏa mãn.
Vậy \(m>2\) phương trình có hai nghiệm âm.
Để phương trình có hai nghiệm thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)^2-9\ge0\\9\ne0\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Viet ta được:
\(x_1+x_2=\dfrac{-2\left(m^2-1\right)}{9}=4\) \(\Leftrightarrow m^2-1=-18\)
\(\Leftrightarrow m^2=-17\) (loại)
Vậy không có giá trị m thỏa mãn.
Để phương trình có hai nghiệm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\a\ne0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3m-1\right)^2-4.\left(m+1\right)\left(2m-2\right)\ge0\\\Delta\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+9\ge0\\m\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)^2\ge0\\m\ne1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m\ne1\).
Áp dụng định ly Viet:
\(x_1+x_2=-\dfrac{3m-1}{m+1}=3\)\(\Leftrightarrow3m-1=-3m-3\)\(\Leftrightarrow6m=-2\)\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{3}\).
Vậy \(m=-\dfrac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.