Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\)$(*)$
Áp dụng BĐT AM-GM dễ thấy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
$\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{b}{3}+\frac{2c+a}{9}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b(2c+a)}.\frac{b}{3}.\frac{2c+a}{9}}=a\)
\(\frac{b^3}{c(2a+b)}+\frac{c}{3}+\frac{2a+b}{9}\geq b\)
\(\frac{c^3}{a(2b+c)}+\frac{a}{3}+\frac{2b+c}{9}\ge c\)
Cộng theo vế và thu gọn ta có:
\(\frac{a^3}{b(2c+a)}+\frac{b^3}{c(2a+b)}+\frac{c^3}{a(2b+c)}\geq \frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
Ta có: \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{\dfrac{a^2+abc}{a}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\)
thiết lập tương tự ,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Điều này luôn đúng theo BĐT Bunyakovsky:
\(\sum\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\sum\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\sum a\sqrt{bc}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
\(\frac{3\left(a^2+1\right)}{a}=\frac{4\left(b^2+1\right)}{b}=\frac{5\left(c^2+1\right)}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}=\frac{4\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{b}=\frac{5\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3\left(a+c\right)}{a}=\frac{4\left(b+c\right)}{b}\\\frac{4\left(a+b\right)}{b}=\frac{5\left(a+c\right)}{c}\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3ab+3bc=4ab+4ac\\4ac+4bc=5ab+5bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab-3bc+4ac=0\\5ab+bc-4ac=0\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left(ab;bc;ca\right)=\left(x;y;z\right)\) và kết hợp \(ab+bc+ca=1\) ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x-3y+4z=0\\5x+y-4z=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{6}\\y=\frac{1}{2}\\z=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=\frac{1}{6}\\bc=\frac{1}{2}\\ac=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) (1)
\(\Rightarrow\left(abc\right)^2=\frac{1}{36}\Rightarrow abc=\pm\frac{1}{6}\) (2)
Chia vế cho vế (2) cho (1) sẽ tìm nốt được a;b;c