Question

[Sách Giáo Khoa]

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h. 119). Cho hình đó quay xung quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Answer 1

[Thien Tu Borum]

Hướng dẫn trả lời:

Hình a.

V=π(12,62)2.8,4+12.43π(12,62)3=13π(6,9)2.(8,4+12,63)=500,094π(cm3)V=π(12,62)2.8,4+12.43π(12,62)3=13π(6,9)2.(8,4+12,63)=500,094π(cm3)

Vậy V_{hình a} = 500,094π cm³

Hình b.

V=13π(6,9)2.20+12.43π.(6,9)3=13π(6,9)2(20+13,8)=536,406π(cm3)V=13π(6,9)2.20+12.43π.(6,9)3=13π(6,9)2(20+13,8)=536,406π(cm3)

Vậy V_{hình b} = 536, 406π cm³

Hình c.

V=13π.22.4+π.22.4+12.43π.23=4.22.π(13+1+13)=80π3(cm3)V=13π.22.4+π.22.4+12.43π.23=4.22.π(13+1+13)=80π3(cm3)

Vậy V_{hình c} =

Answer 2

[Thien Tu Borum]

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Hướng dẫn trả lời:

a) Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông ABCD là:

V=π(AB2)2.BCV=π(AB2)2.BC với AB là đường chéo của hình vuông có cạnh là R và AB = R√2 (=BC)

V=π(R√22)2.R√2=π.2R24.R√2=πR3√22⇒V2=(πR3√222)=2π2R62(1)V=π(R22)2.R2=π.2R24.R2=πR322⇒V2=(πR3222)=2π2R62(1)

Thể tích hình cầu có bán kính R là: V1=43πR3V1=43πR3

Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng EF2EF2 là:

V2=13π(EF2)2.GHV2=13π(EF2)2.GH

Với EF = R√3 (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (O;R))

và GH=EF√32=R√3.√32=3R2GH=EF32=R3.32=3R2

Thay vào V₂, ta có: V2=13π(R√32)2.3R2=38πR3V2=13π(R32)2.3R2=38πR3

Ta có: V1V2=43πR3.38πR3=π2R62(2)V1V2=43πR3.38πR3=π2R62(2)

So sánh (1) và (2) ta được : V² = V₁. V₂

b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính AB2AB2 là:

S=2π(AB2).BC+2π(AB2)2S=2π.R√22R√2+2π(R√22)2S=2πR2+πR2=3πR2⇒S2=(3πR2)2=9π2.R4(1)S=2π(AB2).BC+2π(AB2)2S=2π.R22R2+2π(R22)2S=2πR2+πR2=3πR2⇒S2=(3πR2)2=9π2.R4(1)

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S₁ = 4πR² (2)

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S2=πEF2.FG+π(EF2)2=πR√32.R√3+π(R√32)2=9πR24S2=πEF2.FG+π(EF2)2=πR32.R3+π(R32)2=9πR24

Ta có: S1S2=4πR2.9πR24=9π2R4(2)S1S2=4πR2.9πR24=9π2R4(2)

So sánh (1) và (2) ta có: S² = S₁. S₂