Question

[Ngô Đức Thành]

 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy hai điểm M,N sao cho tam giác AMN có chu vi bằng 2a. Tìm vị trí của M, N để diện tích tam giác CMN lớn nhất.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Đặt AM=x; AN=y

MN^2=AM^2+AN^2

=>\(MN=\sqrt{x^2+y^2}\)

\(P_{AMN}=AM+AN+MN=x+y+\sqrt{x^2+y^2}=2a\)

và x+y>=2*căn xy; \(\sqrt{x^2+y^2}>=\sqrt{2xy}\)

=>\(2a=x+y+\sqrt{x^2+y^2}>=2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}\)

=>\(2a>=\sqrt{xy}\left(2+\sqrt{2}\right)\)

=>\(\sqrt{xy}< =\dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}\)

=>\(S_{AMN}=\dfrac{1}{2}xy< =\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{2a}{2+\sqrt{2}}\right)^2=\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\left(2-\sqrt{2}\right)a\)