Question

[Sách Giáo Khoa]

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên  \(\Delta\) lấy điểm S sao cho \(OS=\dfrac{a}{2}\). Xác định tâm và bán kính cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó ?

Answer 1

[bảo nam trần]

Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABCD)

Khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi H là trung điểm của cạnh SA

Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực của đoạn SA cắt đường thẳng SO tại I , ta có: \(\Delta SAO\) đòng dạng \(\Delta SIH\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SO}=\dfrac{SI}{SH}\Leftrightarrow SI=\dfrac{SA.SH}{SO}=\dfrac{SA^2}{2SO}\)

Mà \(SA^2=SO^2+OA^2=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{3a^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Khi đó \(SI=\dfrac{3a^2}{\dfrac{4}{2.\dfrac{a}{2}}}=\dfrac{3a}{4}\)

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}IS=IA\\IA=IB=IC=ID\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow IS=IA=IB=IC=ID=\dfrac{3a}{4}\)

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính \(R=SI=\dfrac{3a}{4}\)

Diện tích mặt cầu là: \(S=4\pi R^2=4\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{4}\)

Thể tích khối cầu là: \(V=\dfrac{4}{3}\pi R^2=\dfrac{4}{3}\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{16}\)