Question

[Tố Quyên]

Cho hình thoi ABCD, góc B tù, O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ BM vuông góc với AD, BN vuông góc với CD, DP vuông góc với AB, DQ vuông góc với BC. Gọi H là giao điểm của MB và PD, K là giao điểm của BN và DQ. Chứng minh: a) A, H, O thẳng hàng. b) A, H, K, C thẳng hàng. c) Tứ giác BHDK là hình thoi.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAMB vuông tại M và ΔAPD vuông tại P có

AB=AD

góc A chung

Do đó: ΔAMB=ΔAPD

=>AM=AP

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAPH vuông tại P có

AH chung

AM=AP

Do đó: ΔAMH=ΔAPH

=>góc MAH=góc PAH

=>AH là phân giác của góc BAD(1)

ΔABD cân tại A

mà AO là trung tuyến

nên AO là phân giác của góc BAD(2)

Từ (1), (2) suy ra A,H,O thẳng hàng

b: Xét ΔCDB có

DQ,BN là đường cao

DQ cắt BN tại K

Do đó; K là trực tâm của ΔCDB

=>CK vuông góc BD

ΔCBD cân tại C

mà CO là trung tuyến

nên CO vuông góc BD

=>C,K,O thẳng hàng

C,K,O thẳng hàng

A,H,O thẳng hàng

A,O,C thẳng hàng(ABCD là hình thoi có O là giao của hai đường chéo AC và BD)

Do đó: C,K,O,H,A thẳng hàng

=>A,H,K,C thẳng hàng

=>HK vuông góc DB

c: Xét tứ giác BHDK có

BH//DK

BK//DH

Do đó: BHDK là hình bình hành

mà HK vuông góc BD

nên BHDK là hình thoi