Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ABCD là hcn
=> AB = CD = 4 (cm) và AD = BC = 2 (cm)
\(\Delta CBD\) vuông tại C
\(\Rightarrow BD^2=BC^2+CD^2\left(ptg\right)\)
\(\Rightarrow BD=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)
\(\Delta ACE\) vuông tại C có BC là đường cao
\(\Rightarrow BC^2=AB\times BE\left(htl\right)\)
\(\Rightarrow BE=1\left(cm\right)\)
BE // CD
\(\Rightarrow\dfrac{BE}{CD}=\dfrac{BF}{FD}=\dfrac{BF}{BF+BD}\) (hệ quả Talet)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}=\dfrac{BF}{BF+2\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow BF=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\)
\(DF=DB+BF=\dfrac{8\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\)
Vì DPN+DQN=90o+90o=180o nên DPNQ là tứ giác nội tiếp
=>QPN=QDN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN) (5)
Mặt khác DENF là tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN (6)
Từ (5) và (6) ta có FEN=QPN (7)
Tương tự ta có: EFN=PQN (8)
Từ (7) và (8) suy ra Δ N P Q ~ Δ N E F ( g . g ) = > P Q E F = N Q N F
Theo quan hệ đường vuông góc – đường xiên, ta có
N Q ≤ N F = > P Q E F = N Q N F ≤ 1 = > P Q ≤ E F
Dấu bằng xảy ra khi Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng.
Do đó PQ max khi M là giao điểm của AC và BN, với N là điểm đối xứng với D qua O.