Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi O là tâm bình hành
\(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow6\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
Dễ dàng nhìn ra trong hình bình hành ABCD tâm O thì: \(\hept{\begin{cases}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\end{cases}}\)--->thế lên trên:
\(\Rightarrow6\overrightarrow{MO}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}=\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}\)---> Dễ dàng có được M là điểm cố định (Vì các điểm O,A,B đều cố định)
Vậy điểm M được xác định bằng cách lấy đường thẳng qua O song song AB rồi trong nửa mặt phẳng bờ là BD có chứa điểm C ta lấy điểm M thuộc đường thẳng vừa dựng được sao cho đoạn OM có độ dài đúng bằng 1/12 độ dài AB.
Gọi O là giao điểm hai đoạn thẳng AC và BD.
Dựng điểm M như sau:
Trên nửa mặt phẳng bờ AC phía B, vẽ tia Ot song song AB.
Trên tia này, Bạn lấy điểm M cách O một đoạn bằng MỘT PHẦN SÁU AB.
Đó là điểm cần tìm.
 |
|
a. Xem lại đề bài, trị tuyệt đối đầu tiên 2 biểu thức MC trừ đi nhau thấy ko đúng
b. Gọi D là trung điểm AB, E là trung điểm BC
\(\Rightarrow\) DE là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{DE}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow2\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{DE}\) (do D là trung điểm AB nên \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}\))
\(\Rightarrow\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DE}\Rightarrow D\) là trung điểm ME
\(\Rightarrow\) M là điểm đối xứng E qua D
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} \) (luôn đúng)
(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)
b) ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Suy ra \(\)\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} \) (đpcm)
a) ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} } \right)\)
\(= \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC}} \right)\)
\(= \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \) (Vì \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {0} \))
b) \(VP=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=VP\left(đpcm\right)\)
c) \(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\\ \Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\left(đúng\right)\\ \)
d) \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\\ \Rightarrow\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\left(đúng\right)\)
Lời giải:
a) Bạn vẽ hình ra cho dễ tưởng tượng nhé!
Để ý rằng: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OA}\\ \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OB}\\ \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OC}\\ \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow {OD}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
Vì $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ nên :
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\); \(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\) (các cặp vector đối nhau)
Do đó, \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}\)
Suy ra \(\overrightarrow {MS}=4\overrightarrow {MO}\), kéo theo \(M,O,S\) thẳng hàng (theo thứ tự)
Do đó \(MS\) luôn quay quanh một điểm cố định là $O$
b)
Lấy điểm \(I\) thỏa mãn: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=0\)
Vì \(A,B,C,D\) cố định nên \(I\) cố định.
Ta có:
\(|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}|\)
\(=|4\overrightarrow{MI}|=a\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\frac{a}{4}\)
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn \(M\) là đường tròn tâm $I$ bán kính \(\frac{a}{4}\)
c) Ta có:
\(|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}|=|\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}|\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{NO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OD}|\)
\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow{OB}|=|2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}|\) \((1)\)
Gọi \(I,K\) là trung điểm của \(AB,CD\) thì:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\\ \overrightarrow {KC}+\overrightarrow{KD}=0\end{matrix}\right.\)
Có
\((1)\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}|=|2\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KD}|\)
\(\Leftrightarrow |2\overrightarrow{NO}+2\overrightarrow{OI}|=|2\overrightarrow{NO}+2\overrightarrow{OK}|\)
\(\Leftrightarrow |\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OI}|=|\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OK}|\Leftrightarrow |\overrightarrow{NI}|=|\overrightarrow{NK}|\)
Do đó tập hợp điểm N nằm trên đường trung trực của \(IK\)
a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB
Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)
b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD
Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)
c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN
Vậy điểm P trùng với điểm O.