Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn C.
Với x > 2 ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục trên khoảng (-∞; 2) và liên tục tại x = 2.
- Hàm số liên tục trên (-∞; 2) khi và chỉ khi tam thức
TH 1: 
TH 2: 
Nên 
thì 
Hàm số liên tục tại 
(thỏa (*))
\(\lim\limits_{x->2^-}=\dfrac{2^2-6\cdot2+8}{\sqrt{3\cdot2+2}-2}=0\)
\(\lim\limits_{x->2^+}=\dfrac{2+8}{2-1}=10< >0\)
=>f(x) không liên tục tại x=2
Khi \(x\ne-2\) thì \(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2+5x-2}{x+2}\) là một hàm phân thức hoàn toàn xác định nên f(x) liên tục tại các khoảng \(\left(-\infty;-2\right);\left(-2;+\infty\right)\)(1)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x^2+5x-2}{x+2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{3x^2+6x-x-2}{x+2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{\left(x+2\right)\left(3x-1\right)}{x+2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2}3x-1=3\cdot\left(-2\right)-1=-7\)
\(f\left(-2\right)=m\)
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số liên tục tại x=2 và liên tục tại các khoảng \(\left(-\infty;-2\right);\left(-2;+\infty\right)\)(2)
Từ (1),(2) suy ra Để hàm số liên tục trên R thì hàm số liên tục tại x=2
=>\(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=f\left(-2\right)\)
=>m=-7
Khi \(x\ne1\) thì \(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2-3x}{x-1}=\dfrac{3x\left(x-1\right)}{x-1}=3x\) hoàn toàn xác định
nên f(x) liên tục trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right);\left(1;+\infty\right)\)(1)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x^2-3x}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3x\left(x-1\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}3x=3\cdot1=3\)
\(f\left(1\right)=m\cdot1+1=m+1\)
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số cần liên tục trên các khoảng sau: \(\left(-\infty;1\right);\left(1;+\infty\right)\) và liên tục luôn tại x=1(2)
Từ (1),(2) suy ra để hàm số liên tục trên R thì hàm số cần liên tục tại x=1
=>\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)\)
=>m+1=3
=>m=2
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{3\left(x-1\right)}{\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)\left(\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{-3}{\left(x^2+x+1\right)\left(\sqrt[3]{\left(3x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{3x+5}+4\right)}=-\dfrac{1}{12}\)
\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2m\sqrt{x}+3}{5}=\dfrac{2m+3}{5}\)
Hàm liên tục trên R khi và chỉ khi:
\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\Leftrightarrow\dfrac{2m+3}{5}=-\dfrac{1}{12}\Leftrightarrow m=-\dfrac{41}{24}\)
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a = - 4\).
Vậy với \(a = - 4\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 = - 2\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = - 2\).
Vậy với \(a = - 2\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\sqrt{2x-4}+3\)
\(=\sqrt{2\cdot2-4}+3=3\)
\(f\left(2\right)=\sqrt{2\cdot2-4}+3=0+3=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x+2}{x^2-2mx+m^2+2}\)
\(=\dfrac{2+2}{2^2-2m\cdot2+m^2+2}=\dfrac{4}{m^2-4m+6}\)
Để hàm số f(x) liên tục trên R thì f(x) liên tục tại x=2
=>\(\dfrac{4}{m^2-4m+6}=3\)
=>\(4=3\left(m^2-4m+6\right)\)
=>\(3m^2-12m+18-4=0\)
=>\(3m^2-12m+14=0\)
\(\Leftrightarrow3m^2-12m+12+2=0\)
=>\(3\left(m-2\right)^2+2=0\)(vô lý)
=>\(m\in\varnothing\)