Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có : \(10=\int ^{3}_{1}f(2x)dx=\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}f(2x)d(2x)=\frac{1}{2}\int ^{6}_{2}f(x)dx\)
\(\Rightarrow \int ^{6}_{2}f(x)d(x)=20\)
Mà \(\int ^{2}_{0}f(x)dx=-5\Rightarrow \int ^{6}_{0}f(x)dx=15\)
Do đó mà \(\int ^{2}_{0}f(3x)dx=\frac{1}{3}\int ^{2}_{0}f(3x)d(3x)=\frac{1}{3}\int ^{6}_{0}f(x)dx=5\)
Đặt \(2x+2=u\Rightarrow2xdx=du\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=2\\x=2\Rightarrow u=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^6_2f\left(u\right).\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(u\right)du=\dfrac{1}{2}\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}.6=3\)
\(\int\limits^3_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^1_0f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^3_1f\left(\left|x\right|\right)dx\)
\(=\int\limits^0_{-1}f\left(-x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)
\(=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)
\(=3+3+6=12\)
Tham khảo:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
Đổi biến x = - t đối với tích phân
Ta được:
Vậy
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì 
là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên
Câu 1:
\(2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2}{3x}\right)=5x\) (1)
Đặt \(t=\frac{2}{3x}\Rightarrow x=\frac{2}{3t}\)
\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=5.\frac{2}{3t}\Leftrightarrow2f\left(\frac{2}{3t}\right)+3f\left(t\right)=\frac{10}{3t}\)
\(\Rightarrow2f\left(\frac{2}{3x}\right)+3f\left(x\right)=\frac{10}{3x}\Leftrightarrow3f\left(\frac{2}{3x}\right)+\frac{9}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}\) (2)
Trừ vế cho vế của (2) cho (1):
\(\frac{5}{2}f\left(x\right)=\frac{5}{x}-5x\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{2}{x}-2x\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\left(\frac{2}{x^2}-2\right)dx=\left(-\frac{2}{x}-2x\right)|^1_{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\)
Câu 2:
\(3f\left(x\right)-4f\left(2-x\right)=-x^2-12x+16\) (1)
Đặt \(2-x=t\Rightarrow x=2-t\)
\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-\left(2-t\right)^2-12\left(2-t\right)+16\)
\(\Rightarrow3f\left(2-t\right)-4f\left(t\right)=-t^2+16t-12\)
\(\Rightarrow3f\left(2-x\right)-4f\left(x\right)=-x^2+16x-12\)
\(\Rightarrow4f\left(2-x\right)-\frac{16}{3}f\left(x\right)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{64}{3}x-16\) (2)
Cộng (1) và (2):
\(-\frac{7}{3}f\left(x\right)=-\frac{14}{3}x^2+\frac{28}{3}x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=2x^2-4x\)
\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0\left(2x^2-4x\right)dx=-\frac{8}{3}\)
\(\int\limits^2_0x.f'\left(2x\right)dx\) thì tính được, còn \(\int\limits^4_0x.f'\left(2x\right)dx\) thì mình nghĩ thế này chưa đủ dữ liệu để tính
Tại sao lại có f(x)=16