TC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
27 tháng 10 2020
AM-Gm đyyyyy
Giả sử P đạt min khi x=a=z>0; b=y>0; c=t>0. Khi đó bx=bz=ay; cx=cz=at và ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT AM-GM như sau:
\(abxy\le\frac{b^2x^2+a^2y^2}{2}\left(1\right);abyz\le\frac{a^2y^2+b^2z^2}{2}\left(2\right);aczt\le\frac{c^2z^2+a^2t^2}{2}\left(3\right);actx\le\frac{a^2t^2+c^2x^2}{2}\left(4\right)\)
Từ (1);(2); (3) và (4) suy ra:
\(abcxy\le\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)}{2}\left(5\right);abcyz\le\frac{c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)}{2}\left(6\right);abczt\le\frac{b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)}{2}\left(7\right);abctx\le\frac{b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}\left(8\right)\)
Cộng các bất đẳng thức (5) (6) (7) (8) theo vế ta được
\(abc=abc\left(xy+yz+zt+tx\right)\le\)\(\frac{c\left(b^2x^2+a^2y^2\right)+c\left(a^2y^2+b^2z^2\right)+b\left(a^2z^2+a^2t^2\right)+b\left(a^2t^2+c^2x^2\right)}{2}=\frac{\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2}{2}\)
tức \(\left(b^2c+bc^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2a^2cy^2+2a^2bt^2\ge2abc\left(9\right)\)
Như vậy để tìm minP cần tìm các số a,b,c theo tỉ lệ thích hợp sao cho hệ số x2;y2;t2 chia nhau theo tỉ lệ 5:4:1
\(\frac{b^2c+bc^2}{5}=\frac{2a^2c}{4}=\frac{2a^2b}{1}\)
Mặt khác, ta có bất đẳng thức xảy ra khi x=z=a;y=b;c=t mà theo giả thiết xy+yz+zt+tx=1 nên phải có ab+bc+ca+ac=1
Và như vậy ta đưa được bài toán về việc giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\frac{bc\left(b+c\right)}{5}=\frac{a^2c}{2}=2a^2b\\a\left(b+c\right)=\frac{1}{2}\end{cases}}\)(*)
Giải hệ này ta tìm được \(a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)khi đó bất đẳng thức (9) trở thành
\(10a^2b\left(x^2+z^2\right)+8a^2by^2+2a^2b^2t^2\ge2abc\)
\(\Rightarrow P=5x^2+5z^2+4y^2+t^2\ge\frac{2abc}{2a^2b}=\frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
Vì vậy ta có đẳng thức xảy ra khi \(x=z=a=\frac{1}{\sqrt[4]{50}};b=y=\frac{1}{\sqrt[4]{200}};c=t=\frac{1}{\sqrt[4]{200}}\)
24 tháng 4 2020
Theo đề bài:
\(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2020}}\right)\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2020}}\right)=\sqrt{2020}\)(1)
Lại có: \(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2020}}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{2020}}-x\right)=\sqrt{2020}\)(2)
Và \(\left(\sqrt{y^2+\sqrt{2020}}-y\right)\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2020}}\right)=\sqrt{2020}\)(3)
Từ (1) và (3) => \(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2020}}=\sqrt{y^2+\sqrt{2020}}-y\)
<=> \(x+y=-\sqrt{x^2+\sqrt{2020}}+\sqrt{y^2+\sqrt{2020}}\)(4)
Từ (1) và (2) => \(\sqrt{x^2+\sqrt{2020}}-x=\sqrt{y^2+\sqrt{2020}}+y\)
<=> \(x+y=\sqrt{x^2+\sqrt{2020}}-\sqrt{y^2+\sqrt{2020}}\)(5)
Từ (4) ( 5 ) => x + y = - ( x + y ) <=> x = - y
=> \(M=9x^4+7x^4-12x^2+4x^2+5\)
\(=16x^4-8x^2+5=\left(4x^2-1\right)^2+4\ge4\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(4x^2-1=0\)<=> \(x=\pm\frac{1}{2}\)
Với x = 1/2 => (x; y) = ( 1/2; -1/2)
Với x = -1/2 => ( x; y ) = ( -1/2; 1/2)
Vậy min M = 4 đạt tại ....
TD
0
LM
0
PT
2
TN
4 tháng 9 2017
Ta có: \(xy+yz+2xz\le k\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1\right)\)
Tức cần tìm \(k>0\) để \((1)\) đúng,
\(\left(1\right)\Leftrightarrow ky^2-y\left(x+z\right)+kx^2+kz^2-2xz\ge0\)
Coi đây là tam thức bậc hai ẩn \(y\) thì tìm \(\Delta< 0\forall x,z\), có:
\(\Delta=\left(1-4k^2\right)\left(x^2+z^2\right)+2\left(1+4k\right)xz\)
Bất đẳng thức trên đối xứng \(x,z\) nên dự đoán \(P_{Max}\) khi \(x=z\)
Thay \(x=z=1\Rightarrow2k^2-2k-1=0\Rightarrow k=\frac{1+\sqrt{3}}{2}>0\)
Hay \(P_{Max}=3\cdot\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
DT
0
NT
0
NT
3
19 tháng 2 2017
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge A^2\)
\(\Leftrightarrow A^2\le2\left(y^2+yz+z^2\right)+3x^2=36\)
\(\Leftrightarrow-6\le A\le6\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+2^2\geq 4x$
$4y^2+1\geq 4y$
$\Rightarrow x^2+4y^2+5\geq 4(x+y)$
$\Rightarrow P=x^2+4y^2+4xy\geq 4(x+y)-5+4xy=4(x+y+xy)-5=4.\frac{7}{2}-5=9$
Vậy $P_{\min}=9$. Giá trị này đạt tại $x=2; y=\frac{1}{2}$
cảm ơn chị