Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)
TH1: \(a;c\) trái dấu
Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)
Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)
Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Mà a; c trái dấu nên:
- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu
\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)
Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\)
Quy tắc: tam thức bậc 2 ko đổi dấu khi \(\Delta< 0\) (có dấu = hay ko phụ thuộc đề yêu cầu \(f\left(x\right)\) có dấu = hay ko)
Khi đã có \(\Delta< 0\) thì dấu \(f\left(x\right)\) chỉ còn phụ thuộc a. Nếu a dương thì \(f\left(x\right)\) dương trên R, nếu a âm thì \(f\left(x\right)\) âm trên R.
Lời giải:Đặt $A=f(1)=a+b+c; B=f(-1)=a-b+c; C=f(0)=c$
Theo đề bài: $|A|, |B|, |C|\leq 1$
\(|a|+|b|+|c|=|\frac{A+B}{2}-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|\)
\(\leq |\frac{A+B}{2}|+|-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|=|\frac{A}{2}|+|\frac{B}{2}|+|C|+|\frac{A}{2}|+|\frac{-B}{2}|+|C|\)
\(=|A|+|B|+2|C|\leq 1+1+2=4\) (đpcm)