Question

[nguyễn minh hieu]

Cho đường tròn (O) đường kính BC,dây AD vuông góc với BC tại H . Gọi E,F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC .Gọi \(\left(I\right),\left(K\right)\)theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HBE,\Delta HCF\)

a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn \(\left(I\right)\)và\(\left(O\right)\) , \(\left(K\right)\)và \(\left(O\right)\) , \(\left(I\right)\)và \(\left(K\right)\)

b) Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao

c) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của \(\left(I\right)\)và \(\left(K\right)\)

d) Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn nhất

Answer 1

[Huy Hoang]

a)

IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).

OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)

IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b)

Tứ giác AEHF có \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\)   nên là hình chứ nhật

c)

c) \(\Delta AHB\) vuông nên AE.AB = AH2

\(\Delta AHC\)vuông nên AF . AC = AH²

Suy ra AE . AB = AF . AC

d) Gọi G là giao điểm của AH và EF

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF

Ta có : GE = GH => \(\Delta GEH\)\(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{H_1}\)

Ta lại có \(\Delta IHE\)cân \(\Rightarrow\widehat{E_2}=\widehat{H_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=\widehat{H_1}+\widehat{H_2}=90^o\)

Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e) - Cách 1:

Ta có: \(EF=AH\le OA\) ( OA có độ dài không đổi )

Do đó EF lớn nhất khi AH = OA

<=> H trùng O hay dây AD đi qua O.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.