Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D M G d2 d1
Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng \(d_1,d_2\). Khi đó G(1;1) và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua G suy ra tứ giác BGCD là một hình bình hành và D(-4;-1)
Gọi b là đường thẳng đi qua D và song song với \(d_1\)
Khi đó b có phương trình \(5\left(x+4\right)+3\left(y+1\right)=0\)
hay \(5x+3y+23=0\)
đường thẳng b cắt \(d_2\) tại điểm C có tọa độ là nghiệm của hệ :
\(\begin{cases}5x+3y+23=0\\3x+8y-11=4\end{cases}\)
Giải hệ thu được (x;y)=(-7;4)
Do đó C(-7;4)
Tương tự c là đường thẳng đi qua D và song song với \(d_2\) cắt \(d_1\) tại B(4;-4)
Khi đó \(\overrightarrow{BC}=\left(-11;8\right)\)
Suy ra BC có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(8;11\right)\), do đó có phương trình \(8\left(x-4\right)+11\left(y+4\right)=0\) hay \(8x+11y+12=0\)
Xét điểm \(B\left(3+t;-2t\right)\in d_2\). Lấy điểm A sao cho M(1;2) là trung điểm của AB. Khi đó \(A\left(1-t;4+2t\right)\) và
\(A\in d_1\Leftrightarrow\frac{1-t-3}{3}=\frac{4+2t}{-1}\Leftrightarrow t=-2\)
Do đó B(1;4) và đường thẳng \(\Delta\) cần tìm có phương trình x=1
Giả sử \(C\left(c;-c;-3\right)\in d_1\)
\(D\left(5d+16;d\right)\in d_2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CD}=\left(5d+16-c;d+c+3\right)\)
ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\left(3;4\right)\)
\(\Rightarrow\begin{cases}5d+16-c=3\\d+c+3=4\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}5d-c=-13\\d+c=1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}d=-2\\c=3\end{cases}\)
\(\Rightarrow C\left(3;-6\right);D\left(6;-2\right)\)
Ta có : \(\overrightarrow{BA}=\left(3;4\right);\overrightarrow{BC}=\left(4;-3\right)\) không cùng phương => A, B, C, D không thẳng hàng => ABCD là hình bình hàng
Vậy \(C\left(3;-6\right);D\left(6;-2\right)\)
Đường thẳng \(d_2\) có phương trình tổng quát là :
\(3x+4y-2=0\)
Theo định lý, đường phân giác các góc tạo bởi \(d_1,d_2\) có phương trình dạng :
\(\frac{4x+3y-5}{\sqrt{4^2+3^2}}=\pm\frac{3x+4y-5}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+y-1=0\left(l_1\right)\\x-y-3=0\left(l_2\right)\end{array}\right.\)
Gọi \(\alpha_k\) là góc giữa \(l_k\) và \(d_1\), \(k=1,2\) khi đó
\(\cos\alpha_1=\frac{\left|4.1+3.1\right|}{\sqrt{\left(4^2+3^2\right)\left(1^2+1^2\right)}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}\)
và
\(\cos\alpha_2=\frac{\left|4.1+3.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{\left(4^2+3^2\right)\left(1^2+\left(-1^2\right)\right)}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}\)
Suy ra \(\cos\alpha_1>\cos\alpha_2\) . Từ đó hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\) nên \(0< \alpha_1< \alpha_2< \frac{\pi}{2}\)
Suy ra \(l_1\) là phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng \(d_1;d_2\) đã cho
A B C D u v
Hai đường thẳng \(d_1;d_2\) tại M có tọa độ (x;y) thỏa mãn hệ phương trình
\(\begin{cases}4x+3y-5=0\\x=-2-4t\\y=2+3t\end{cases}\)
Giải hệ ta được M(2;-1). Đường thẳng \(d_2\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}=\left(-4;3\right)\) và đường thẳng \(d_1\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(-3;4\right)\)
Do \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(-3\right)\left(-4\right)+4.3=24>0\) nên \(\widehat{\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)}< \frac{\pi}{2}\)
Vậy đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d_1;d_2\) đi qua \(M\left(2;-1\right)\)
và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{\omega}=\frac{1}{5}.\overrightarrow{u}+\frac{1}{5}.\overrightarrow{v}=\frac{7}{5}\left(-1;1\right)\)
Suy ra có phương trình :
\(\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{1}\) hay \(x+y-1=0\)
Đường thẳng \(\Delta_1\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;4\right)\)
Đường thẳng \(\Delta_2\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2}=\left(4;-3\right)\)
Do \(\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=3.4+4.\left(-3\right)=0\) nên \(\Delta_1\perp\Delta_2\)
Do đó nếu đường thẳng d tạo với \(\Delta_1,\Delta_2\) một tam giác cân, thì đó là tam giác vuông cân, tại đỉnh là giao điểm của \(\Delta_1;\Delta_2\)
Bài toán quy về viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và tạo với đường thẳng \(\Delta_1\) một góc \(\frac{\pi}{4}\).
Giả sử đường thẳng d có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{m}=\left(a;b\right)\) với \(a^2+b^2\ne0\), khi đó d có phương trình dạng :
\(ax+by-a-b=0\)
Do góc \(\left(d;\Delta_1\right)=\frac{\pi}{4}\) nên
\(\frac{\left|3a+4b\right|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow7a^2-48ab-7b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=7b\\7a=-b\end{cases}\)
Nếu a=7b, chọn b=1, a=7, ta được đường thẳng d : \(7x+y-8=0\)
Nếu 7a=-b, chọn a=1, b=-7 ta được đường thẳng d : \(x-7y+6=0\)
a) Xét hệ \(\left\{{}\begin{matrix}4x-10y+1=0\\x+y+2=0\end{matrix}\right.\)
D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0
Vậy d1 và d2 cắt nhau
b) Tương tự, ta có: d1 :\(12x-6y+10=0\) ;
d2= \(2x-y-7=0\)
D = 12 . (-1) - (-6).2 = -12 + 12 = 0
Dx = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0
Vậy d1 // d2
c) Tương tự, ta có d1: \(8x+10y-12=0\)
d2:\(4x+5y-6=0\)
D = 8 . 5 - 4 . 10 = 0
Dx = 10. (-6) - (-12) . 5 = 0
Dy = (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0
Vậy d1 trùng d2.
A B C d2 d1
Vì \(d_1\) là đường cao kẻ từ B nên đường thẳng AC vuông góc với \(d_1\)
Đường thẳng \(d_1\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(5;3\right)\) do đó nhận \(\overrightarrow{u}=\left(3;-5\right)\) làm vec tơ chỉ phương.
Vậy đường thẳng AC đi qua A(-4;5), với vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{u}=\left(3;-5\right)\), do dó có phương trình \(3\left(x+4\right)-5\left(y-5\right)=0\) hay \(3x-5y+37=0\)
Đường thẳng AC cắt \(d_2\) tại C có tọa độ của hệ :
\(\begin{cases}3x+8y+11=0\\3x-5y+37=0\end{cases}\)
Giải hệ thu được (x;y)=(-9;2) do đó C(-9;2)
Tương tự như trên cũng được phương trình tổng quát AB là \(8x-3y+47=0\) và \(B\left(-3;\frac{23}{3}\right)\)
Từ đó \(\overrightarrow{BC}=\left(-6;-\frac{17}{3}\right)=-\frac{1}{3}\left(18;17\right)\)
Suy ra đường thẳng BC có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(18;17\right)\) do đó nhận vec tơ \(\overrightarrow{n}=\left(17;-18\right)\) làm vec tơ pháp tuyến
Vậy BC có phương trình tổng quát \(17\left(x+9\right)-18\left(y-2\right)=0\) hay \(17x-18y+189=0\)