Question

[Qanhh pro]

cho ΔABC; D,E là trung điểm của AC; AB
Trên tia BD lấy M sao cho BD =1/2BM
Trên tia CE lấy N sao cho E là trung điểm của CN
Chứng minh: a, BC=AM
b, BC=AN
c, BC=1/2MN

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

Hình thì bạn thay đổi vị trí điểm M và điểm N nhé.

a) Vì \(BD=\frac{1}{2}BM\left(gt\right)\)

=> D là trung điểm của \(BM.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(CBD\) và \(AMD\) có:

\(CD=AD\) (vì D là trung điểm của \(AC\))

\(\widehat{CDB}=\widehat{ADM}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(BD=MD\) (vì D là trung điểm của \(BM\))

=> \(\Delta CBD=\Delta AMD\left(c-g-c\right)\)

=> \(BC=AM\) (2 cạnh tương ứng) (1).

b) Xét 2 \(\Delta\) \(BCE\) và \(ANE\) có:

\(BE=AE\) (vì E là trung điểm của \(AB\)\(\))

\(\widehat{BEC}=\widehat{AEN}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(CE=NE\) (vì E là trung điểm của \(CN\))

=> \(\Delta BCE=\Delta ANE\left(c-g-c\right)\)

=> \(BC=AN\) (2 cạnh tương ứng) (2).

c) Cộng theo vế (1) với (2) ta được:

\(AM+AN=BC+BC\)

\(\Rightarrow AM+AN=2BC.\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=AN\left(=BC\right).\)

Mà A nằm giữa M và N (gt).

\(\Rightarrow\) A là trung điểm của \(MN.\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm \(A,M,N\) thẳng hàng.

\(\Rightarrow\) \(AM+AN=MN\)

Mà \(AM+AN=2BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MN=2BC\)

\(\Rightarrow BC=\frac{1}{2}MN\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!